Fragen zur Partialbruchzerlegung

26.03.2010, 13:43

Dalice66

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Fragen zur Partialbruchzerlegung

Hi Leute,

muss man bei der Partialbruchzerlegung nur den Nenner "bereinigen?

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(2x+3)(4x+5)} \end{eqnarray*}$

Also ziehe ich hier 1/4 raus, oder?

2. Frage:

Falls ich eine doppelte Nullstelle haben sollte, habe immer den Ansatz?

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{..^2} +\frac{Bx}{..^2} +... \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 14:04

mYthos

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1.
Wenn schon, dann eher 1/8, dann hast du reine Linearfaktoren.

2.
Das geht ebenfalls. Üblich ist $\begin{eqnarray*} \frac A {(...)} + \frac B {(...)^2} \end{eqnarray*}$ , dann ist später keine Substitution notwendig.

mY+

26.03.2010, 14:14

Dalice66

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Hi Mythos,

warum finde ich denn in manchen Büchern diese verwirrende Schreibweise?

Es könnte also auch demnach für

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3+x)^2(x+2)} \end{eqnarray*}$

lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{(3+x)^2} +\frac{B}{(3+x)^2} +\frac{C+D}{x+2} \end{eqnarray*}$

Schei* Bücher... Big Laugh

Big Laugh

Ja klar, 1/8...Ich habe das Malzeichen nicht beachtet...

26.03.2010, 14:19

mYthos

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Zitat:

Original von Dalice66
...
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{(3+x)^2} +\frac{B}{(3+x)^2} +\frac{C+D}{x+2} \end{eqnarray*}$
...

So lautet der Ansatz sicher nicht, da hast du dich verschrieben.

mY+

26.03.2010, 14:26

Dalice66

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$\begin{eqnarray*} \frac{A}{(3+x)^2} +\frac{B}{(3+x)^2} +\frac{C}{x+2} \end{eqnarray*}$

Ferner hast du geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac A {(...)} + \frac B {(...)^2} \end{eqnarray*}$

Ich sehe, dass bei einer doppelten Nullstelle einmal der Term in der Klammer und einmal der quadratische Term mit A und B "betitelt" werden. Also ist mein zweifaches (x+3)² falsch?

$\begin{eqnarray*} \frac{...}{(3+x)^2} +\frac{...}{(3+x)^2} +... \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 14:58

mYthos

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Nein, das (2.) ist nicht falsch, wenn im Zähler des Bruches des quadratischen Termes Bx steht, das hast du doch geschrieben! Also könnte man dann klarerweise das Ganze gleich als einen Bruch schreiben $\begin{eqnarray*} \frac{A + Bx}{( ... )^2} \end{eqnarray*}$ .

Zum Anderen:

Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{(3+x)^2} +\frac{B}{(3+x)^2} +\frac{C}{x+2} \end{eqnarray*}$
...

Das stimmt noch immer nicht. Mache den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{3+x} + \frac{B}{(3+x)^2} + \frac{C}{x+2} \end{eqnarray*}$

mY+

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26.03.2010, 17:48

Dalice66

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mhh,

also lautet dann die Funktion:

A(x+2)+B(x+2)+c(3+x)=1

26.03.2010, 18:12

Dalice66

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Neee,

datt dürfte nix sein...Denn nach :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(3+x)^2(x+2)}=\frac{A}{(3+x)} +\frac{B}{(3+x)^2} +\frac{C}{x+2} \end{eqnarray*}$

...nun mit dem ganzen Kram multipliziert...

$\begin{eqnarray*} 1=A(3+x)(x+2)+B(x+2)+C(3+x)^2 \end{eqnarray*}$

Das müsste jetzt besser sein...

26.03.2010, 18:46

Dalice66

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Als nächstes müsste ich das sortieren...

Ich habe das mal ausmutipliziert und es führte mich zu :

$\begin{eqnarray*} 1=(A+C)x^2+(6C+B+5)x+(2B+9C+6) \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 22:20

mYthos

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Zitat:

Original von Dalice66
...
$\begin{eqnarray*} 1=(A+C)x^2+(6C+B+5)x+(2B+9C+6) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht ganz richtig. Bei 5 und 6 fehlt jeweils das A.

mY+

27.03.2010, 03:11

gonnabphd

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Nur mal so als Anregung, wenn du nicht immer alles ausmultiplizieren willst (das Ganze sieht hier nach viel Arbeit aus, geht aber eigentlich ganz schnell, sobald man den Dreh raus hat):

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+3)^2(x+2)}=\frac{A}{(x+3)} +\frac{B}{(x+3)^2} +\frac{C}{x+2}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{(x+3)^2}=(x+2)\frac{A}{(x+3)}+(x+2)\frac{B}{(x+3)^2} + C \quad \quad (1)<br /> <br /> \Leftrightarrow \quad \frac{1}{(x+2)}=(x+3)A +B +(x+3)^2\frac{C}{x+2} \quad \quad (2) \end{eqnarray*}$

Setzt man jetzt in (1) $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ , dann sieht man, dass $\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$ ist.

In (2) $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ , führt zu $\begin{eqnarray*} B=-1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du nur noch

$\begin{eqnarray*} 1=(x+3)^2(x+2)\frac{A}{(x+3)} + \underset{=B}{\underbrace{(-1)}}(x+2) +\underset{=C}{\underbrace{1}}(x+3)^2=(x+3)(2+x)A-(x+2)+(x+3)^2 \end{eqnarray*}$

lösen, dann bist du fertig. Und in der letzten Gleichung kann man sich einfach z.B. die höchste Potenz von x anschauen ("Koeffizientenvergleich"). (Man sieht dann, dass $\begin{eqnarray*} 0=Ax^2+x^2 \end{eqnarray*}$ ist.)

(Natürlich ist das mathematisch gesehen nicht ganz sauber, da ja die Werte, die ich in (1) und (2) für x einsetze, gar nicht zugelassen wären, aber vom praktischen Standpunkt her...)

27.03.2010, 16:10

Dalice66

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Moin,

es muss lauten:

$\begin{eqnarray*} 1=x^2(A+C)+x(5A+B+6C)+(6A+2B+9C) \end{eqnarray*}$

Nullstellen sind x1=-3, x2=-2, x3=3

$\begin{eqnarray*} 1=9(A+C)-3(5A+B+6C)+6A+2B+9C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1=B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=9(A+C)-2(5A-1+6C)+6A-2+9C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=C \end{eqnarray*}$

Ich komme durch Ausmultipizieren auf meine Werte. Jetzt fehlt mir nur noch A.

In meine Gleichung eingesetzt, komme ich auf A=-1

Das setze ich jetzt in die Ausgangsgleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{3+x} + \frac{-1}{(3+x)^2} + \frac{1}{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{(3+x)^2(x+2)}=\int \frac{-1}{3+x} + \int\frac{-1}{(3+x)^2} + \int\frac{1}{x+2} =-ln(3+x)-2ln(3+x)+ln(x+2) \end{eqnarray*}$

28.03.2010, 14:28

gonnabphd

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das ist übrigens falsch...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{(3+x)^2(x+2)}=\int \frac{-1}{3+x} + \underbrace{\overbrace{\int\frac{-1}{(3+x)^2}}} + \int\frac{1}{x+2} =-ln(3+x)-2ln(3+x)+ln(x+2) \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}(2ln(3+x)) \end{eqnarray*}$ ?!

Wink

Wink

28.03.2010, 14:50

Dalice66

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Moin...

falls ich das richtig gedeutet habe, kommt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} (2ln(3+x)) \end{eqnarray*}$

raus

28.03.2010, 15:01

mYthos

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Halt mal! Nochmals von vorn: Du sollst

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {(x + 3)^{-2}} \end{eqnarray*}$

integrieren. Welche Regel greift da? Woher beziehst du hier den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ ??
Was soll das x im Nenner?

mY+

28.03.2010, 15:26

Dalice66

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Hi Mythos...

das hier

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {(x + 3)^{-2}} \end{eqnarray*}$

ist etwas anderes, als mein Kram

$\begin{eqnarray*} ...+ \frac{-1}{(3+x)^2} + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {(x + 3)^{-2}}=\frac{1}{\frac{1}{(x+3)^2} }=(x+3)^2 \end{eqnarray*}$

Auf die

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} (2ln(3+x)) \end{eqnarray*}$

komme ich wegen diesem hier

Was ist $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}(2ln(3+x)) \end{eqnarray*}$ ?!

Denn egal welche Zahl ich fuer

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial ...} \end{eqnarray*}$

einsetze, kommt immer wieder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} (2ln(3+x)) \end{eqnarray*}$

raus...

28.03.2010, 18:26

mYthos

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Ich hab' mich nur verschrieben und damit schon etwas vorweggenommen. Hätte sein sollen

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {(x + 3)^2} = (x + 3)^{-2} \end{eqnarray*}$

Also intergriere doch das einmal.

Das andere - nun, das stimmt einfach nicht. Das solltest du nochmals überdenken. Denn da hast du offensichtlich die symbolische Schreibweise des Differentialquotienten missverstanden.

mY+

28.03.2010, 18:26

gonnabphd

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Zitat:

Original von Dalice66
Auf die

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} (2ln(3+x)) \end{eqnarray*}$

komme ich wegen diesem hier

Was ist $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}(2ln(3+x)) \end{eqnarray*}$ ?!

Denn egal welche Zahl ich fuer

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial ...} \end{eqnarray*}$

einsetze, kommt immer wieder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} (2ln(3+x)) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}(f(x)) \end{eqnarray*}$ meinte ich einfach die Ableitung von f(x) nach x... (ist natürlich das falsche "d", dieses wird gewöhnlich für die partielle Ableitung gebraucht - wenn du das noch nicht kanntest: sorry!)

Ich hab dich so gefragt, weil du $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(3+x)^2} \end{eqnarray*}$ falsch integriert hast. Und wenn du mal $\begin{eqnarray*} -2ln(3+x) \end{eqnarray*}$ ableitest, siehst du, dass deine Integration nicht stimmen kann.

Wenn du's nicht gleich siehst, substituier' mal z=x+3.

Damit ich hier nicht andauernd dreinrede, überlasse ich mYthos mal das Feld!
smile

smile

28.03.2010, 21:25

Dalice66

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Hi mYthos,

du meintest das von gonnabphd? Falls das falsch sein sollte, kann ich (erstmal) damit leben...

$\begin{eqnarray*} (x + 3)^{-2}=-(x+3)^{-1}=-\frac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$

28.03.2010, 21:30

kiste

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Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} (x + 3)^{-2}=-(x+3)^{-1}=-\frac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$

geschockt

unglücklich

28.03.2010, 21:42

Dalice66

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???

Bei der Integration wird doch beim Exponenten einer hinzugezählt.

-2+1=-1.... Nun wird der Exponent als Kehrbruch vor die Zahl gezogen, feddich. Da ich hier -1 als Exponent habe, muss ich das Minuszeichen vor den Term ziehen

Ein Term mit negativen Exponenten kann auch als Bruch geschrieben werden, wo dann der Term in den Nenner wandert und der Exponent dort positiv wird

28.03.2010, 21:45

Iorek

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Dann solltest du das beim nächsten mal bitte auch so schreiben. Im Moment steht bei dir:
$\begin{eqnarray*} \frac 1{(x+3)^2}=-\frac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$ , was offensichtlich falsch ist (außer für x=-4).

28.03.2010, 21:48

Dalice66

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mhh

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(x+3)^2}=\frac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$

28.03.2010, 21:49

kiste

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Zum wiederholten male falsch.
Konzentrier dich doch einmal, da fehlt die Information dass du integrieren willst(und vorhin war wenigstens das Ergebnis der Integration richtig)

28.03.2010, 21:51

Iorek

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Zitat:

Original von Dalice66
mhh

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(x+3)^2}=\frac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$

geschockt

Wie kommst du denn da drauf?

Du willst das integrieren, wie schreibt man das denn bitte auf?

Edit: Oh, sorry kiste, hab dich als offline gesehen.

28.03.2010, 21:59

Dalice66

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Falls meine Schreibweise falsch sein sollte, dann sagt es. Ich ändere das dann. Falls aber gar nichts in der Richtung kommt, stiftet das Verwirrung und ich ändere womöglich mein Ergebnis, wie eben...

Schreibweise wäre dann :

$\begin{eqnarray*} \int(x + 3)^{-2}dx=-(x+3)^{-1}=-\frac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$

Außerdem reicht einer zum korrigieren, nicht 10

28.03.2010, 23:06

mYthos

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Zitat:

Original von Dalice66
...
Außerdem reicht einer zum korrigieren, nicht 10

OK! Zum zweiten Mal: Ich klinke mich aus.
Mit dieser Unhöflichkeit machst du dir keine Freunde unglücklich

unglücklich

mY+

29.03.2010, 08:33

Dalice66

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Moin Leute,

ich wollte nicht unhöflich sein, oder war ich es schon mal? Aber es können doch nicht alle auf mich eindreschen und verlangen, dass ich in die Köpfe anderer hineinsehen kann. Mathe schwach? Kann sein, aber dafür ist es auch ein Forum, wo selbst HiWis wie ich, Fragen stellen können und ohne Fragen keine Erkenntnis. Bitte einfach sagen, was verkehrt ist, dann ändere ich das oder versuche es zumindest.

Wink

Wink

29.03.2010, 08:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
Schreibweise wäre dann :

$\begin{eqnarray*} \int(x + 3)^{-2}dx=-(x+3)^{-1}=-\frac{1}{x+3} \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt nicht den ganzen Thread gelesen, aber zumindest damit kann ich mich bis auf die fehlende Integrationskonstante einverstanden erklären. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2010, 10:56

mYthos

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Zitat:

Original von Dalice66
...
Außerdem reicht einer zum korrigieren, nicht 10

Ich kann mir nun mal nicht helfen, ich finde diesen Satz zumindest unglücklich.
Es kann und wird immer wieder vorkommen, dass mehrere Helfer gleichzeitig posten. Wenn du das als "Eindreschen" empfindest und nicht in der Lage bist, eben das alles auseinanderzuklauben und dir die Ratschläge einzeln anzusehen und zu koordinieren, dafür können wir nichts.

Ich wollte nur gesagt haben, dass ich den Satz als unhöflich empfunden habe und darüber nicht glücklich bin. Böse bin ich dir deswegen aber nicht.

Gr
mY+

29.03.2010, 14:23

Dalice66

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Moin Leute,

ich habe dann mal weiter gerechnet und mir das Integral nochmal angeschaut.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(3+x)^2(x+2)} dx=\int\frac{-1}{3+x} dx+\int\frac{-1}{(3+x)^2}dx+\int \frac{1}{x+2} dx \end{eqnarray*}$

Muss man das dx hier eigentlich hinter jedem Integral schreiben oder reicht das am Ende einmal?

Demnach müsste dann rauskommen:

$\begin{eqnarray*} ...=-ln(3+x)+\frac{1}{3+x} +ln(x+2)+C \end{eqnarray*}$

Bei

$\begin{eqnarray*} ...\int\frac{-1}{(3+x)^2}dx... \end{eqnarray*}$

habe ich das Minus vor das Integral gezogen und danach wieder eingesetzt, so erklärt sich

$\begin{eqnarray*} ...+\frac{1}{3+x}... \end{eqnarray*}$

das Pluszeichen

Wink

Wink

29.03.2010, 14:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
Muss man das dx hier eigentlich hinter jedem Integral schreiben oder reicht das am Ende einmal?

Jedes Integral möchte sein dx haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Dalice66
Demnach müsste dann rauskommen:

$\begin{eqnarray*} ...=-ln(3+x)+\frac{1}{3+x} +ln(x+2)+C \end{eqnarray*}$

Ja.

29.03.2010, 14:39

Dalice66

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Juhu,

danke

1

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