Funktion in L^q ?

26.03.2010, 15:27

BanachraumK_5

Funktion in L^q ?

Betrachte die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} |x|^{-\frac{1}{q}}, & 0 < |x| \le 1\\ 0, & x = 0, oder |x|> 1\end{cases} \end{eqnarray*}$

SO und nun definiere $\begin{eqnarray*} L^p(\mathbb{R}) = \{f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f \text{messbar und} \Vert f \Vert_p < \infty \} \end{eqnarray*}$ .

Also normalerweise wäre das ein geschwungenes L ich weiß nur nicht wie man das in Latex macht. Das ist sozusagen die Menge welche aber noch keinen Normierten Raum liefert, da $\begin{eqnarray*} \Vert f \Vert_p = 0 \Rightarrow f = 0 \end{eqnarray*}$ nicht gesichert ist, wer sich mit den L^p Räumen schon beschäftigt hat weiß genau was ich meine.

Soweit zur Definition und jetzt zum eigentlichen Problem:

Ich möchte zeigen, dass obige Funktion (Beispiel meines Tutors) in L^p aber nicht in L^q liegt.

Ich muss also nur zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \Vert f \Vert_p^p < \infty \end{eqnarray*}$ .

Zunächst ergibt sich für mich das folgendes Mysterium:

Die Funktion ist nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert, das ist ein Problem! Hat mein Tutor da was falsch gemacht?

Also ich hab das Problem erstmal ignoriert und dann folgendes berechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_{[0;\infty]} \mathrm |f(x)|^p\,\mathrm dx = [\frac{1}{\frac{-p}{q} + 1} \cdot x^{\frac{-p}{q}+1}]_0^1 + C < \infty \end{eqnarray*}$

Somit liegt die Funktion in der Tat in L^P

im zweiten Fall komme ich irgendwie auf den ln liege ich da richtig am Ende kommt sowas raus: $\begin{eqnarray*} [lnx]_0^1 + C \end{eqnarray*}$ aber dann wäre ja f auch in L^q irgendwas stimmt da nicht.

Bitte schaut sich das mal einer an.

Hier nochmal die ürsprüngliche Aufgabe von meinem Prof.:

Geben Sie ohne Beweis eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \in L^p(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ an, die nicht in $\begin{eqnarray*} f \in L^q(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ liegt.

26.03.2010, 16:16

Mazze

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Zitat:

Die Funktion ist nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert, das ist ein Problem! Hat mein Tutor da was falsch gemacht?

Die Funktion ist auf ganz R definiert. Beachte die Beträge sowohl bei $\begin{eqnarray*} 0 < |x| \leq 1 \end{eqnarray*}$ als auch bei $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$ .

Für die Auswertung des Integrals macht es aber nichts, tatsächlich reicht es dieses zu berechnen und mit 2 zu multiplizieren (so es existiert).

Zitat:

im zweiten Fall komme ich irgendwie auf den ln liege ich da richtig am Ende kommt sowas raus: $\begin{eqnarray*} [lnx]_0^1 + C \end{eqnarray*}$ aber dann wäre ja f auch in L^q irgendwas stimmt da nicht.

Denke da nochmal drüber nach.

26.03.2010, 17:25

BanachraumK_5

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Folgt also wg. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\ ln(x) = \infty \end{eqnarray*}$ , dass dann $\begin{eqnarray*} f \not\in L^q(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ denn

$\begin{eqnarray*} \int_{[0;\infty]} \mathrm |f(x)|^q\,\mathrm dx = \infty \end{eqnarray*}$ .

Dann hab ichs glaub ich kapiert.

26.03.2010, 17:28

Mazze

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Naja, korrekt ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\ ln(x) = -\infty \end{eqnarray*}$

allerding ist

$\begin{eqnarray*} [\ln(x)]_0^1 = 0 - \lim_{x \to 0}\ln(x) = \infty \end{eqnarray*}$

edit:

p < q ist vorausgesetzt oder?

26.03.2010, 20:59

BanachraumK_5

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Jo das p < q ist vorrausgesetzt.

Kann ich also immer so vorgehen, dass ich dann nur das Integral entsprechend ausrechne und entweder ist es $\begin{eqnarray*} < \infty \end{eqnarray*}$ oder eben nicht.

Mal so ne Frage die Funktionen die man da angibt muss man sich auch erstmal ausdenken. Ich meine so normale Polynom Funktionen ala $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ liegen eh in beiden Räumen.

26.03.2010, 23:11

Mazze

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Zitat:

Mal so ne Frage die Funktionen die man da angibt muss man sich auch erstmal ausdenken. Ich meine so normale Polynom Funktionen ala $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ liegen eh in beiden Räumen.

Das hängt entschieden von den Grundmengen ab. Für alle a < b gibt es Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^p([a,b]) \end{eqnarray*}$ . Allerdings gibt es kein Polynom (mit Ausnahme der Null), in $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^p(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

edit:

Wenn mans genau nimmt bestehen die Räume ja sowieso nicht aus Funktionen Big Laugh

27.03.2010, 13:28

BanachraumK_5

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So ich hab das jetzt mal nachgerechnet und komme auf

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} \mathrm |x^2|^p\,\mathrm dx = \int_{[-\infty,0)} \mathrm -x^{2p}\,\mathrm dx + \int_{[0,\infty]} \mathrm x^{2p} \,\mathrm dx = \lim_{a \rightarrow -\infty} \int_{[a,0)} \mathrm -x^{2p}\,\mathrm dx + \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{[0,b]} \mathrm x^{2p}\,\mathrm dx = (\lim_{a \rightarrow -\infty} \frac{1}{2p+1}a^{2p+1} - \lim_{b \rightarrow \infty} \frac{1}{2p+1}b^{2p+1}) \rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

Mal ne frage wenn das Ergebniss wie oben $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ist, folgt dann auch dass die Funktion nicht in $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^p(\mathbb{R}) := \{f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f \text{messbar und} \Vert f \Vert_p < \infty \} \end{eqnarray*}$
Falls ich mich oben verrechnet habe gilt die Frage trotzdem.

Zitat:

Wenn mans genau nimmt bestehen die Räume ja sowieso nicht aus Funktionen Big Laugh

Doch! Ich habe ja nicht die richtigen L^p Räume definiert (dann wären es in der Tat Äquivalenzklassen), aber in meinem Beispiel das sind schon Funktionen.

Womit ich irgendwie Probleme habe ist die Tatsache, dass da wirklich nur so "komische" Funktionen drinliegen. Irgendwie sehe ich da noch nicht wirklich die Motivation...

Zitat:

Für alle a < b gibt es Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^p([a,b]) \end{eqnarray*}$ . Allerdings gibt es kein Polynom

Ja danke für den Hinweis habe es wie oben gerechnet und es folgt dann ja trivialerweise $\begin{eqnarray*} \Vert f \Vert_p^p < \infty \end{eqnarray*}$

27.03.2010, 13:45

giles

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Es ist unmöglich, dass für $\begin{eqnarray*} f \geq 0 \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} \int f d\mu < 0 \end{eqnarray*}$ rauskommt...

27.03.2010, 13:56

BanachraumK_5

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Kannst du mir mal sagen wo mein Fehler liegt?

28.03.2010, 17:17

BanachraumK_5

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So ich hab das jetzt mal nachgerechnet und komme auf

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} \mathrm |x^2|^p\,\mathrm dx = \int_{[-\infty,0)} \mathrm -x^{2p}\,\mathrm dx + \int_{[0,\infty]} \mathrm x^{2p} \,\mathrm dx = \lim_{a \rightarrow -\infty} \int_{[a,0)} \mathrm -x^{2p}\,\mathrm dx + \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{[0,b]} \mathrm x^{2p}\,\mathrm dx = (\lim_{a \rightarrow -\infty} \frac{1}{2p+1}a^{2p+1} - \lim_{b \rightarrow \infty} \frac{1}{2p+1}b^{2p+1}) \rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mal schauen wo ich mich verrechnet habe ich finde den Fehler nicht. Kann doch eigtl. nur ein Vorzeichen sein.

28.03.2010, 18:02

giles

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Für reelle x gilt

$\begin{eqnarray*} |x|^2=|x^2|=x^2 \end{eqnarray*}$

deine Fallunterscheidung ist ziemlich bizarr...

28.03.2010, 18:09

BanachraumK_5

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Hab das mit dem Betrag übersehen, wenn ich ein solches Integral über ganz R ausrechnen muss wie gehe ich denn genau vor? Unendlich gehört ja nicht zu R.

29.03.2010, 01:17

giles

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Du sollst dabei auch nicht unendlich einsetzen, sondern die Grenzwerte betrachten. Deine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} [-\infty,0[ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$ ist also nicht korrekt wie du selbst sagtest. Die Grenzen müssen offen sein.

So gesehen war deine Vorgehensweise schon ok, nur halt der erste Schritt war nicht durchdacht

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} x^{2p}\dx = \lim_{a,b \to \infty}\left[ \frac{1}{2p+1}x^{2p+1} \right] ^a _{-b}=\lim_{a,b\to \infty} \left[ \frac{1}{2p+1}(a^{2p+1}+b^{2p+1}) \right] \end{eqnarray*}$

"ausrechnen" ist da jetzt nichts weiter, die Nichtexistenz dieses Grenzwertes wäre jetzt noch zu beklagen und das wars.
Als Tipp kannst du dir bei sowas angewöhnen, dass für die untere Grenze gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ laufen zu lassen einfach ein Vorzeichen hinschreiben und auch gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ gehen lassen. So hat man die Vorzeichen am Ende besser im Überblick.

29.03.2010, 13:59

BanachraumK_5

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Zitat:

So hat man die Vorzeichen am Ende besser im Überblick.

Danke, das werde ich so verinnerlichen. Da ich in 2 Wochen Klausur habe werde ich sicherlich noch einige weitere interressante Fragen stellen.

Vielen Dank für die Hilfe!

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