euklidischer Vektornorm

26.03.2010, 16:31

baldan

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euklidischer Vektornorm

Zeige, daß die von der euklidischen Vektornorm
$\begin{eqnarray*} \|x\|_2= \left(\displaystyle\sum^{n}_{i=0}x^2_i \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
induzierte Matrixnorm gegeben ist durch
$\begin{eqnarray*} \|A\|_2 = max\{|\lambda |: \lambda \text{ ist Eigenwert von } A^TA\} \end{eqnarray*}$

Benutze dabei, daß jede symmetrische Matrix aus Rn×n n orthogonale Eigenvektoren hat.
wie kommt man von sup auf Eigenwert?
$\begin{eqnarray*} \|A\|_2 =\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2}= \sup_{\|x\|_2=1}\|Ax\|_2 \end{eqnarray*}$ .

26.03.2010, 16:35

Mazze

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Es ist hier Hilfreich die Norm durch das Skalarprodukt zu beschreiben :

$\begin{eqnarray*} \|x\|^2_2 = x^Tx \end{eqnarray*}$

natürlich kann man orthogonale Matrizen dazwischen Schummeln, sei also $\begin{eqnarray*} Q^TQ = I \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} \|x\|_2^2 = x^Tx = x^TQ^TQx \end{eqnarray*}$

und wenn Du jetzt noch bedenkst das die Matrix $\begin{eqnarray*} A^TA \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist kannst Du

$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_2 \end{eqnarray*}$ auf eine ganz besondere Art und Weise aufschreiben. Und dann stehts fast da.

26.03.2010, 17:00

baldanGast

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wow, Antwort kommt schneller als erwartet. Danke.

ist das so richtig?
$\begin{eqnarray*} B=Ax \Rightarrow \|Ax\|_2 = \|B\|_2= B^tB = (Ax)^tAx = x^tA^tAx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|A\|_2 = \sup_{x \neq 0}\frac{\|x^tA^tAx\|_2}{\|x\|_2} \end{eqnarray*}$

aber wie kann ich weiter

26.03.2010, 17:04

Mazze

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Bis hierhin

$\begin{eqnarray*} x^TA^TAx \end{eqnarray*}$

ist es ok. Bedenke das Matrix $\begin{eqnarray*} A^TA \end{eqnarray*}$ orthogonal Diagonalisierbar ist, es gibt also eine orthogonale Matrix Q und eine Diagonalmatrix D so dass was gilt?

edit:

Du musst aufpassen :

$\begin{eqnarray*} \|x\|_2 = \sqrt{x^Tx} \end{eqnarray*}$

um mir die Wurzeln zu sparen habe ich

$\begin{eqnarray*} \|x\|_2^2 = x^Tx \end{eqnarray*}$

betrachtet.

26.03.2010, 17:05

baldan

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$\begin{eqnarray*} \|A\|_2= \sup_{x \neq 0} \frac{x^tA^tAx}{x^tx}=\sup_{x \neq 0}A^tA \end{eqnarray*}$ ?

26.03.2010, 17:06

Mazze

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Nein, soweit sind wir noch gar nicht beachte zu nächst den Edit und dann beantworte meine Frage bezüglich Q und D

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26.03.2010, 17:11

baldan

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$\begin{eqnarray*} \|A\|_2= \sup_{x \neq 0} \frac{\sqrt{x^tA^tAx}}{\sqrt{x^tx}}=\sup_{x \neq 0}\sqrt{A^tA} \end{eqnarray*}$ ?

26.03.2010, 17:18

Mazze

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Was hat das mit Q und D zu tun?

26.03.2010, 17:44

baldan

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aan, sorry hab deinen Edit nicht beachtet.

$\begin{eqnarray*} \textbf{Also }A^TA\textbf{ ist symmetrisch.} \Rightarrow A^TA=Q^TDQ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D, Q\in \mathbb{R}^{n\times n}, Q^TQ = I, d_{ji}=0\textbf{ für }i\neq j \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 17:54

Mazze

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Ja, das ist schonmal gut, insbesondere kann man also schreiben :

$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_2^2 = x^TA^TAx = x^TQDQ^Tx = x^TDx \end{eqnarray*}$

warum gilt die letzte Gleichheit?

26.03.2010, 18:04

baldan

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$\begin{eqnarray*} A^TA \textbf{ hat r Eigenwerte. }A^TA = Q^TA^TAQ = diag(u_1,...,u_r,0,0..) \end{eqnarray*}$ aber wie schreibe ich das Formal

26.03.2010, 18:08

Mazze

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verwirrt

Was machst Du da?

Erstmal musst Dir klar werden warum :

$\begin{eqnarray*} x^TQDQ^Tx = x^TDx \end{eqnarray*}$ gilt, danach geht man wie folgt vor :

$\begin{eqnarray*} \|A\| = \sup_{\|x\| = 1}\left\|Ax\right\| = \sup_{\|x\| = 1}\sqrt{x^TDx} \end{eqnarray*}$

Dann schreibt man

$\begin{eqnarray*} x^TDx = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A^TA \end{eqnarray*}$ sind. Und dann wird abgeschätzt im Hinblick zur Aufgabe!

26.03.2010, 18:20

baldan

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ich schreibe sehr langsam wegen Latex.

ich habe keine Ahnung. wie die Qs verschwunden sind vielleicht so

$\begin{eqnarray*} x^tQDQ^tx =(xQ^t)^tD(xQ^t) \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 19:01

Mazze

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Ich schaffs gerade selber nicht diese Gleichheit zu zeigen (ich denke ich habs damals so gemacht). Daher schlage ich dir folgenden Weg vor :

Für orthogonale Matrizen Q gilt : $\begin{eqnarray*} \|x\|_2 = \|Qx\|_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist :

$\begin{eqnarray*} \|A\|_2 = \sup_{\|x\|_2 = 1}\left\|Ax\right\|_2 = \sup_{\|Q^Tx\|_2 = 1}\sqrt{x^TA^TAx} = \sup_{\|Q^Tx\|_2 = 1}\sqrt{x^TQDQ^Tx} = \sup_{\|y\|_2 = 1}\sqrt{y^TDy} \end{eqnarray*}$

Und mehr brauchen wir auch nicht. Von hier gehts wie oben gesagt weiter.

edit:

Aus dieser Gleichungskette folgt im übrigen

$\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\|_2 = 1}\left\|Ax\right\|_2 = \sup_{\|x\|_2 = 1}\left\|Dx\right\|_2 \end{eqnarray*}$

26.03.2010, 20:03

tigerbine

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29.03.2010, 00:30

baldan

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ich schreibe jetzt alles zusammen
$\begin{eqnarray*} \|A\|_2 = \sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_2^2 = (Ax)^TAx = x^TA^TAx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textbf{Jeder symmetrische Matrix lässt sich schreiben als} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^TA = Q^TDQ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q\in R^{n\times n}, Q^T = Q^{-1} \textbf{ Orthoganalmatrix Q.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textbf{Diagonalmatrix D} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^TA = Q^TDQ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|x\|_2 = \|Qx\|_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|A\|_2 = \sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2} = \sup_{x\neq 0}\frac{\sqrt{ x^TQ^TDQx}}{\sqrt{(Qx)^TQx}}=\sup_{x\neq 0}\sqrt{\frac{ x^TQ^TDQx}{x^TQ^TQx}} \end{eqnarray*}$

kann mann jetzt einfach so schreiben?

$\begin{eqnarray*} = \sup_{x\neq 0}\sqrt{D} \end{eqnarray*}$

29.03.2010, 10:23

Mazze

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Zitat:

kann mann jetzt einfach so schreiben?

Nein, kann man nicht, dein Ausdruck hängt nicht mehr von x ab. Wenn Du bei diesem Punkt bist :

$\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\|_2 = 1}\left\|Ax\right\|_2 = \sup_{\|x\|_2 = 1}\left\|Dx\right\|_2 \end{eqnarray*}$

schreibst Du mal $\begin{eqnarray*} \|Dx\|_2 \end{eqnarray*}$ als Summe hin und schätzt geeignet ab. Denke dabei immer an das Ziel.

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