p,2 kongruent modulo 3 für unendliche viele p?

23.10.2006, 21:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
p,2 kongruent modulo 3 für unendliche viele p? Hi, ich hab das Problem das ich zeigen muss dass es unendliche viele Primzahlen p gibt für die gilt: $\begin{eqnarray} p \equiv 2 (mod~3) \end{eqnarray}$ was auch schreibbar ist als: $\begin{eqnarray} p - 2 = 3k , k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht ob es hilft aber in der Teilaufgabe zuvor hab ich bewiesen dass: $\begin{eqnarray} a \equiv b \equiv 1 (mod~3) \Rightarrow ab \equiv 1 (mod~3) \end{eqnarray}$ Hab auch bereits im Internet nachrecherchiert und etwas über Prime Restklassen ( http://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe und http://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklasse ) gefunden wovon ich glaube das es weiterhelfen könnte aber ich verstehe es nicht Freu mich über jede Hilfestellung, Tipps oder auch Lösungen
23.10.2006, 22:24	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir zwar nicht helfen aber vllt bist du ja in der Studentenabteilung erfolgreicher
25.10.2006, 23:45	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehe doch einfach genauso vor wie beim Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen $\begin{eqnarray} p \equiv 1(mod4) \end{eqnarray}$ . Angenommen, es existierten nur endlich viele Primzahlen $\begin{eqnarray} p \equiv 2(mod3) \end{eqnarray}$ . Dann zählen wir diese Primzahlen auf: $\begin{eqnarray} p_{1}, p_{2},...p_{n} \end{eqnarray}$ . Man bilde das Produkt $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ aller Quadrate dieser Primzahlen $\begin{eqnarray} (p_{1} p_{2}...p_{n})^{2} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} z+1 \equiv 2(mod3) \end{eqnarray}$ und teilerfremd zu allen Primzahlen $\begin{eqnarray} p_{1}, p_{2},...p_{n} \end{eqnarray}$ . Da gilt $\begin{eqnarray} z+1 \equiv 2(mod3) \end{eqnarray}$ , darf es nicht nur Primfaktoren $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ besitzen mit $\begin{eqnarray} k \equiv 1(mod3) \end{eqnarray}$ ,sondern auch mindestens einen mit $\begin{eqnarray} k \equiv 2(mod3) \end{eqnarray}$ . Dieser steht nicht auf der Liste, also ist jede endliche Liste von Primzahlen $\begin{eqnarray} k \equiv 2(mod3) \end{eqnarray}$ unvollständig. damit ist bewiesen, dass es unendlich viele derartige Primzahlen gibt. Gruß, Carsten

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