Lp Norm für p= unendlich

27.03.2010, 16:15

Traesh

Lp Norm für p= unendlich

Hallo.

Ich würde gerne wissen, ob für $\begin{eqnarray*} f \in L^p \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \| f \|_2 \le \|f \|_{\infty} \end{eqnarray*}$

Bei Wikipedia stehen die Definitionen, bei mir speziell jetzt

$\begin{eqnarray*} \|f\|_2 := \left(\int_\Omega \|f(x)\|^2\,{\rm d}\mu(x)\right)^{1/2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|f\|_\infty := \operatorname{ess\,sup}_{x\in\Omega}|f(x)| \left( = \inf_{N\in \mathcal A\atop \mu(N) = 0}\sup_{x\in \Omega\setminus N} |f(x)|\right). \end{eqnarray*}$

Ich bin im 4. Semester, deswegen ist mir die Supremumsnorm noch ziemlich unheimlich.

Kann mir wer sagen, ob die Behauptung oben stimmt oder nicht?

Danke,
Traesh

27.03.2010, 16:55

giles

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Zitat:

Ich bin im 4. Semester, deswegen ist mir die Supremumsnorm noch ziemlich unheimlich.

$\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty}=\inf \left\{ c\in \mathbb{R}^+ \vert c \geq |f| \text{ } \mu \text{ f.ü.} \right\} \end{eqnarray*}$
Was daran unheimlich?

Zitat:

ob für $\begin{eqnarray*} f \in L^p \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \| f \|_2 \le \|f \|_{\infty} \end{eqnarray*}$

Ich nehm mal stattdessen $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^p \end{eqnarray*}$ ; die meisten hier scheinen das zu meinen und können nur kein skript-L schreiben. Wenn dich tatsächlich $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ interessiert, kannst du dir das ja als Äquivalenzklassen denken.
Hm, also eine minimale Anforderung an die Gleichung ist ja, dass $\begin{eqnarray*} f\notin \mathcal{L}^2 \Rightarrow f \notin \mathcal{L}^{\infty} \end{eqnarray*}$
oder äquivalent
$\begin{eqnarray*} f \in \mathcal{L}^{\infty} \Rightarrow f \in \mathcal{L}^2 \end{eqnarray*}$

Nehmen wir also $\begin{eqnarray*} \chi(x)=1 \Rightarrow \chi\in \mathcal{L}^{\infty} (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}),\lambda) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||\chi ||_{\infty} =1 \end{eqnarray*}$
aber $\begin{eqnarray*} \chi \notin \mathcal{L}^2 (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}),\lambda) \end{eqnarray*}$

Um zu untersuchen, ob die Vermutung wenigstens bei $\begin{eqnarray*} f\in \mathcal{L}^2 \cap \mathcal{L}^{\infty} \end{eqnarray*}$ richtig ist, nimm doch mal eine Funktion und überprüf es:

$\begin{eqnarray*} \psi(x):= \exp(-x^2) \Rightarrow \psi \in \mathcal{L}^2 (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}),\lambda) \cap \mathcal{L}^{\infty} (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}),\lambda) \end{eqnarray*}$

dann gilt $\begin{eqnarray*} 1=||\psi||_{\infty} < ||\psi||_2 = \sqrt{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \end{eqnarray*}$

Eine Frage hab ich dann doch noch: Was war jetzt daran so unheimlich? smile

27.03.2010, 17:51

Traesh

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Hi giles

Zitat:

Original von giles

Zitat:

Ich bin im 4. Semester, deswegen ist mir die Supremumsnorm noch ziemlich unheimlich.

$\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty}=\inf \left\{ c\in \mathbb{R}^+ \vert c \geq |f| \text{ } \mu \text{ f.ü.} \right\} \end{eqnarray*}$
Was daran unheimlich?

So wie du es aufgeschrieben hast, damit kann ich etwas anfangen, aber dass es äquivalent zum wesentlichen Supremum ist, wusste ich nicht bisher
Ich hätte es zwar nachschlagen können/müssen, aber ich habe immernur die rechte Seite "inf sup..." angeguckt. Verwirrt haben mich da die vielen Bezeichnungen, also

$\begin{eqnarray*} x\in \Omega\setminus N \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} N\in \mathcal A\atop \mu(N) = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von giles

Zitat:

ob für $\begin{eqnarray*} f \in L^p \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \| f \|_2 \le \|f \|_{\infty} \end{eqnarray*}$

Besten Dank. Wäre ich wohl nie im Leben selbst drauf gekommen.

Zitat:

Original von giles
Eine Frage hab ich dann doch noch: Was war jetzt daran so unheimlich? smile

Jetzt wo du es so schreibst, würde ich meinen, dass du ein bisschen unheimlich bist Augenzwinkern

Auf den ersten Blick sah das für mich Recht kompliziert aus und ich denke, du hast auch mal eben die Beispiele aus dem Handgelenk geschüttelt.
Dafür, dass du erst 21 bist, Respekt Freude

Auf jeden Fall noch mal danke, super Antwort von dir.

Viele Grüße
Traesh

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