Mathe-Olympiade Zahlentheorie

27.03.2010, 16:46

Optimus

Mathe-Olympiade Zahlentheorie

Ich habe mich entschieden mich im Bereich der Zahlentheorie in den Ferien zu verbessern.

Es geht um folgende Aufgabe (Nr. 451313 , Mathematik-Olympiade Nr. 45 11-13 Klasse, erste Runde):

Man bestimme alle Paare (x,y) Reeller Zahlen, die das Gleichungssystem erfüllen:

$\begin{eqnarray*} (x+y)²-3*(x-y)=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} =\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Ich finde keinen guten Ansatz. Mehr als einen Ansatz brauche ich nicht.

27.03.2010, 17:25

wisili

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RE: Mathe-Olympiade Zahlentheorie
Die Aufgabe muss anders lauten (es gäbe unzumutbare Lösungen).

27.03.2010, 17:29

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Die Einordnung "Zahlentheorie" ist nicht zutreffend: Es handelt sich hier um ein 2x2-Gleichungssystem mit reellen Unbekannten, das ist eher unter Algebra einzuordnen.

Und hast du dich auch gewiss nicht verschrieben? Die Aufgabe erscheint mir ungeheuer schwer für eine Erstrundenaufgabe. Die Sache wäre wesentlich einfacher, wenn etwa die erste Gleichung

$\begin{eqnarray*} (x+y)^2 - 3(x+y) = 4 \end{eqnarray*}$

lauten würde.

EDIT: ... oh, etwas spät - da hatte schon ein anderer dieselben Zweifel.

27.03.2010, 17:38

Optimus

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Stimmt, vielleicht habe ich deswegen gestern so lange drangesessen und keinen passenden Ansatz gefunden. verwirrt

Was wäre der erste Schritt, den ich beim Lösen von diesem Gleichungssystem tun sollte ?

27.03.2010, 17:39

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Was stimmt? Dass es keine Zahlentheorieaufgabe ist?

27.03.2010, 17:46

Optimus

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Nein, dass ich mich bei der ersten Gleichung verschrieben habe.

Die Gleichung sollte lauten:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^2-3(x+y)=4 \end{eqnarray*}$

27.03.2010, 17:53

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Na, dann kannst du doch diese Gleichung direkt nach $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ auflösen - da es eine quadratische Gleichung ist, mit zwei Lösungen. Und mit den Lösungen gehst du in die zweite Gleichung.

27.03.2010, 18:56

Optimus

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$\begin{eqnarray*} (x+y)^2-3(x+y)=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+y=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2=4+3z \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Gleichung folgt
$\begin{eqnarray*} z1= -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z2= 4 \end{eqnarray*}$
Betrachten wir die 2te Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1/x+1/y=1/6 \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziere ich die 2te Gleichung mit xy, damit die Bruchstriche weg sind.

$\begin{eqnarray*} x+y=xy/6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6(x+y)=xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xy=x(y+x-x)=6(x+y) \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich die Zahlen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in diese Gleichung für $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ ein.

$\begin{eqnarray*} x*(-1-x)=6*(-1) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt es 2 Lösungen $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auch entweder $\begin{eqnarray*} 2 oder -3. \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x+y=4 \end{eqnarray*}$ würde es keine Reellen Lösungen geben, weil es keine Reellen Lösungen für $\begin{eqnarray*} x*(4-x)=6*4 \end{eqnarray*}$ geben würde. (weil $\begin{eqnarray*} x(4-x)=24 \end{eqnarray*}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} -(x+2)²-28=0 \end{eqnarray*}$ und diese Funktion hat keine Reellen Lösungen)

=> die Lösungen sind $\begin{eqnarray*} (-3,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2,-3) \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, das es richtig ist.

Ich finde die Aufgabe garnicht so einfach. Vllt soll ich erstmal einfachere Lösen, obwohl ich die erste Aufgabe der 2ten Runde dieses Jahres viel einfacher fand.

27.03.2010, 18:58

Airblader

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Sinn der Olympiade ist ja auch nicht, dass es 'einfach' ist. Natürlich ist es anspruchsvoll. Man soll z.T. an Aufgaben auch mal länger als nur einen Tag oder gar einer Stunde sitzen - in der Mathematik ist oft so, aber Schüler sind daran natürlich keineswegs gewöhnt.

Insofern ist diese Aufgabe hier wirklich noch einfach, da man eigentlich nur die zündende Idee z := x+y braucht. Danach ist es eine Sache von weniger als 5 Minuten. Und ganz so abwegig ist die Idee nun auch nicht. Augenzwinkern

Bei schwierigeren Aufgaben hast du eine Idee, dann aber durchaus auch Arbeit vor dir, diese auch noch durchzuziehen (und brauchst da u.U. nochmal Ideen etc.).

air
... der die Lösung nun nicht korrigiert hat.

27.03.2010, 19:55

Optimus

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Mir ist bewusst, dass die Aufgaben anspruchsvoll sein sollen. Und ich habe mehr als 5 Minuten für den Rest der Aufgabe gebraucht, weil ich noch nicht so viel Gefühl für solche Gleichungen habe. Aber durch Lernen bekomme ich immer mehr und mehr Gefühl dafür.

Habt ihr Tipps für mich, wie man am effektivsten solche Aufgaben zu lösen lernen soll ?

27.03.2010, 20:00

Airblader

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Zitat:

Original von Optimus
Habt ihr Tipps für mich, wie man am effektivsten solche Aufgaben zu lösen lernen soll ?

Üben, Dranbleiben und nochmal Üben!
Wer aufgibt, hat verloren. Bleibt man an einem Problem hartnäckig dran, wird man es irgendwann sicherlich schaffen und hat dann sehr viel gelernt, was man früher oder später wieder benötigt und dann parat hat.

air

27.03.2010, 20:06

Optimus

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Ok, Danke.
Dann üb ich mal weiter.

28.03.2010, 10:08

Mystic

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Und vielleicht doch noch eine kritische Anmerkung, die du dir zu Herzen nehmen solltest: Als allererstes solltest mal überprüfen, ob die Angabe überhaupt stimmt, speziell wenn es Probleme mit der Aufgabe gibt... Dass du erst mit einer Korrektur der Angabe herausgerückt bist, nachdem dich zwei Leute dezidiert darauf aufmerksam gemacht hatten, war jetzt alles andere als optimal... geschockt

Ansonsten, wie auch schon geagt wurde: Practice makes perfect... Freude

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