Erster Schritt fuer PZB

27.03.2010, 17:27

Dalice66

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Erster Schritt fuer PZB

Moin Leute...

beim Blaettern in alten Klausuren habe ich folgende Aufgabe entdeckt. Der erste Schritt hier waere doch den ganzen Term zu quadrieren, oder? Nicht verwundert die Augen reiben, eine aehnliche Aufgabe, die ich vor kurzem hier reingestellt hatte, war in einer anderen Klausur.

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^\infty \frac{1}{(x+3)\sqrt{x+2} } |(...)^2 \end{eqnarray*}$

Somit kaeme ich dann auf

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^\infty \frac{1}{(x+3)^2(x+2) } \end{eqnarray*}$ ,

oder?

27.03.2010, 17:35

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Zitat:

Original von Dalice66
Nicht verwundert die Augen reiben

Doch - solange du nicht erklärst, was diese Integrandenquadrierung mit dem ursprünglichen Integral zu tun haben soll? verwirrt

verwirrt

27.03.2010, 17:40

Dalice66

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Moin,

mein Problem war zunaechst die Wurzel im Nenner. Bekomme ich die dadurch nicht weg?

27.03.2010, 17:43

AD

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Du hörst nicht zu: Was hat diese Integrandenquadrierung mit dem ursprünglichen Integral zu tun? Jedenfalls hilft die Berechnung des zweiten Integrals überhaupt nicht bei der Berechnung des Ursprungsintegrals. unglücklich

unglücklich

Versuche es besser mal mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x = u^2-2 \end{eqnarray*}$ .

28.03.2010, 13:16

Dalice66

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Moin,

so wie ich das sehe, laeuft der Hase in folgende Richtung...

Wurzeln meistens (eigentlich immer) wegsubstituieren, Substitution quadrieren, um die Wurzel zu killen, nach x umstellen, einsetzen, losrechnen...

Ikk versuch mich mal:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^\infty \frac{1}{(x+3)\sqrt{x+2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = u^2-2 \end{eqnarray*}$ .

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^\infty \frac{1}{(x+3)\sqrt{x+2} }dx =\frac{A}{t} +\frac{Bt+C}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

Nullstellen: $\begin{eqnarray*} x_1=0, x_{2,3}\pm 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ...A(t^2+1)+t(Bt+C)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1: A=1, x_2: C=-1-B, x_3: B=-1\Rightarrow C=0 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} ...=\int_{-1}^\infty \frac{1}{t}+ \int_{-1}^\infty\frac{-t}{t^2+1} =\left[ln(t)\right]_{-1}^{\infty } -\left(\frac{t}{t} \right) \int_{-1}^\infty\frac{1}{t+\frac{1}{t} } dx=\left[ln(t)\right]_{-1}^{\infty }-\left[ln\left(t+\frac{1}{t} \right) \right]_{-1}^{\infty } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ...=ln\left[\left(\frac{t}{t+\frac{1}{t} } \right) \right]_{-1}^{\infty } =ln\left(\frac{\infty }{\infty } \right) -ln\left(\frac{-1}{-2} \right) =-ln\left(\frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Ikk sehe gerade, statt u habe ich t genommen... Gott

Gott

28.03.2010, 13:20

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Zitat:

Original von Dalice66
Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^\infty \frac{1}{(x+3)\sqrt{x+2} }dx =\frac{A}{t} +\frac{Bt+C}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

Ab hier beginnt der Unsinn. Damit meine ich noch nicht mal, dass du t statt u schreibst, sondern dass da nicht die Spur einer ordentlich durchgeführten Substitution zu sehen ist. Das ist schon ziemlich beschämend, denn angesichts deiner Vorgeschichte im Board kannst du mir nicht erzählen, dass du sowas noch nie gemacht hast. unglücklich

unglücklich

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28.03.2010, 13:58

Dalice66

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Moin,

erstmal muss ich sagen, dass ich mit dem Partialbruchzerlegung erst anfange. Dann Schritt fuer Schritt bitte...

$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = u^2-2 \end{eqnarray*}$

Werden die in

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^\infty \frac{1}{(x+3)\sqrt{x+2} }dx \end{eqnarray*}$

eingesetzt?

28.03.2010, 14:18

kiste

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Es geht doch hier noch gar nicht um PZB, sondern um Substitution bei Integralen. Les das nochmal in einem Buch oder so nach.

28.03.2010, 14:34

Dalice66

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Das muss mir auch mal jemand sagen, dass hier PBZ nicht zum Erfolg fuehrt. Die Substitution ist dann fuer mich machbar. Gibt es denn ueberhaupt eine Mixtur aus PBZ und Substitution (aehnlich wie bei Substitution und part. Integration)?

28.03.2010, 14:45

AD

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Du lenkst ab. Führe erstmal die Substitution durch, danach können wir über die PBZ reden.

28.03.2010, 14:56

Dalice66

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mhh,

wenn ich

$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = u^2-2 \end{eqnarray*}$

in die Formel schmeisse, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(u^2-2+3)u} \end{eqnarray*}$

28.03.2010, 14:59

AD

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Und? Weiter? Das ist doch nicht alles, was zu einer Integralsubstitution gehört!!!

Sieht ganz danach aus, als steckt hinter deinem schon zu Beginn vergessenen $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ mehr als nur eine kleine Nachlässigkeit, sondern ein zumindest im Hochschulbereich desaströses Verständnisproblem.

28.03.2010, 16:07

Dalice66

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So,

$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x+2} , u'=\frac{du}{dx} , u'=\frac{1}{2} (x+2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x+2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x+2} } =\frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=2udu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(u^2-2+3)u}*2udu \end{eqnarray*}$

u kuerzen, bleibt uebrig...

$\begin{eqnarray*} 2\frac{du}{(u^2-2+3)} \end{eqnarray*}$

29.03.2010, 08:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x+2} , u'=\frac{du}{dx} , u'=\frac{1}{2} (x+2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x+2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x+2} } =\frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=2udu \end{eqnarray*}$

Komplizierter ging es nicht. Du hast x = u² - 2, also ist $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} = 2u \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} 2\frac{du}{(u^2-2+3)} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt noch ein Integralzeichen davor schreibst, dann wäre es kaum zum Aushalten. smile

smile

29.03.2010, 14:38

Dalice66

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Moin...

$\begin{eqnarray*} \int 2\frac{du}{(u^2-2+3)}=\int \frac{2}{u^2+1}du \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass sieht schon besser aus, oder?

Falls das richtig sein sollte, dann bestätige das bitte kurz. Ich versuche dann die PBZ...

Wink

Wink

29.03.2010, 14:57

klarsoweit

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Es ist richtig, aber mit PBZ ist da nichts. Wie man leicht sieht, ist das ein Grundintegral. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2010, 15:16

Dalice66

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Danke...

Woran erkennt man Grundintegrale? Muss ich die alle auswendig lernen?

Ich hatte übrigens noch was vergessen. Das Integral hat Grenzen...

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^\infty 2\frac{du}{(u^2-2+3)}=\int_{-1}^\infty \frac{2}{u^2+1}du \end{eqnarray*}$

Die müssten aber die gleichen bleiben...

29.03.2010, 15:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
Woran erkennt man Grundintegrale?

Eben an ihrem Aussehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Dalice66
Muss ich die alle auswendig lernen?

Die 2 Hand voll sollten wohl kein Problem sein. Sind immerhin weniger als Autotypen. smile

smile

Zitat:

Original von Dalice66
Die müssten aber die gleichen bleiben...

Bei einer Substitution müssen auch die Grenzen angepaßt werden.

29.03.2010, 15:34

Dalice66

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Moin,

ja, die Grenzen müssen angepasst werden. Das weiß ich sogar smile

smile

Nachdem ich die Grenzen eingesetzt habe, komme ich auf die gleichen, deswegen

"Die müssten aber die gleichen bleiben..."

Upps, stimmt nicht...

$\begin{eqnarray*} \int_2^\infty ... \end{eqnarray*}$

Jo, Grundintgrale anschauen...

Wink

Wink

03.04.2010, 13:47

Dalice66

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Moin,

ich habe mir nochmal das Integral angeschaut und festgestellt, dass es noch nicht richtig ist...

Es muesste folgendermassen lauten:

$\begin{eqnarray*} 2\int_1^\infty \frac{1}{t^2+1} dt=2*\left[Arctant\right]_{1}^{\infty } \end{eqnarray*}$

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