messbarkeit monotone funktion

27.03.2010, 17:39	hännes23	Auf diesen Beitrag antworten »
messbarkeit monotone funktion Hallo , ich habe Probleme beim zeigen der Messbarkeit einer Funktion. Zum Beispiel hab ich hier eine Aufgabe Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \rightarrow \overline{\mathbb R} \end{eqnarray}$ monoton wachsend. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bzgl des 1 dimensionalen Lebesgue Maßes messbar ist . $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{+-\infty\} \end{eqnarray}$ Nun muss ich doch zeigen, dass die Mengen $\begin{eqnarray} \{x \in X:f(x) > a \} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ messbar sind. Wie geh ich sowas an? Muss ich das irgendwie mit dem Urbild zeigen?
27.03.2010, 17:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig - und wie sehen denn diese Urblider bei monotonen Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ genau aus? Nicht besonders kompliziert.
27.03.2010, 17:54	hännes23	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Urbilder sind doch genau die Definitionsmengen.
27.03.2010, 17:56	hännes23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach quatsch von $\begin{eqnarray} [a,\infty) \end{eqnarray}$
27.03.2010, 18:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nein, nein - die Urbildmengen sind schon die von dir genannten $\begin{eqnarray} \{x \in \mathbb{R}: \; f(x) > a \} \end{eqnarray}$ oder anders geschrieben $\begin{eqnarray} f^{-1}((a,\infty]) \end{eqnarray}$ , das sind Teilmengen reeller Zahlen. Aber sind das irgendwelche wilden Mengen, oder kommen da nur sehr überschaubare Mengen in Frage, wenn du die Voraussetzung "f monoton" einbeziehst?
27.03.2010, 18:10	hännes23	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind alles Intervalle.
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27.03.2010, 18:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na also, das ist doch der entscheidende Punkt - denn dass sämtliche Intervalle messbare Mengen sind, weißt du ja hoffentlich schon.
27.03.2010, 18:21	hennes23	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, wusste ich leider nicht Vielen Danke für deine schnelle Hilfe.

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