Vektorrechnung mit Gerade

28.03.2010, 15:48

Stift82

Vektorrechnung mit Gerade

Meine Frage:
Ein Spiegel mit der Gleichung y=1/2(11-x) wird von einem Laserstrahl vom Punkt A(2/-1) am Punkt B(5/3) getroffen. Trifft der reflektierte Strahl den Punkt C({23/6}/-1)?

Meine Ideen:
Hallo Leute,

es ist schon ein Weilchen her, als ich Vektoren gerechnet habe und nun habe ich bald eine Prüfung vor mir....

Also für die oben genannte Aufgabe habe ich erst einmal einen Richtungsvektor auf meiner Geraden gebildet:

- dabei ist B(5/3) gleich meinem Ortsvektor r
- dann habe ich mit der Geradengleichung einen zweiten Punkt gebildet auf der Geraden P2(3/4)= r1
- dann konnte ich aus der Differenz von r und r1 meinen Richtungsvektor a bilden a(2,-1)
- da bei der Reflexion des Strahls der Eintrittswinkel = Austrittswinkel sein muss, möchte ich mir den Normalenvektor zur Geraden bilden. das ist bisher immer schief gegangen...habe schon versucht ihn zu bestimmen mit dem Kreuzprodukt von r und a, oder als Betrag aus dem Skalarprodukt bei einem Winkel von 90°

Wie kann ich ihn bestimmen? So bin ich bisher immer auf n(0/0/11) gekommen...damit kann ich allerdings keinen Winkel zwischen der Strecke AB und n bilden.

Liebe Grüße

Stift82

28.03.2010, 15:54

tigerbine

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RE: Vektorrechnung mit Gerade
Rot: Der Spiegel. Grün: Der Laser. Blau Grün: Punkt A, Rot/Grün: Punkt B

Soweit klar, oder? Nun ist das mit "Einfallswinkel = Ausfallswinkel" noch umzusetzen. Da verstehe ich deine Idee mit der Normalen nicht.

Wie bestimmt man denn den/die Schnittwinkel zweier Geraden?

28.03.2010, 16:39

Stift82

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RE: Vektorrechnung mit Gerade
Hallo Tigerbine,

vielen Dank für deine Hilfe.

Ich bin nicht davon ausgegangen, dass der Stahl in sich reflektiert wird.

Liebe Grüße

Stift82

28.03.2010, 16:41

tigerbine

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RE: Vektorrechnung mit Gerade
Hi Stift,

das habe ich doch auch gar nicht gesagt. Ich wollte von dir wissen, ob du weißt, wie man den Schnittwinkel berechnet und warum du die Normale berechnen wolltest. Nur wenn du senkrecht drauf schießt, kommt der Strahl auf gleichem Weg wieder zurück.

28.03.2010, 17:14

Stift82

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RE: Vektorrechnung mit Gerade
Hallo tigerbine,

verzeih...da hab ich nicht richtig nachgedacht und meine Winkel falsch eingezeichnet...

also ...die Schnittwinkel zweier Geraden habe ich berechnet mit Hilfe der Richtungvektoren der Geraden... aus dem Quotienten des Skalarproduktes von a1 und a2 durch das Produkt von den Beträgen von a1 und a2.

phi 1 (Strecke AB, a) = 100,3 °
phi 2 (Strecke BC, a) = 79,7 °

und somit dann

alpha 1 = alpha 2 =79,7 °

Nun hab ich leider noch nicht wieder rausbekommen, wie ich den Normalenvektor bilden kann. Ich gaube es ging mit der hess'schen Normalform....das krieg ich aber noch wieder raus...

Danke dir nochmals smile

Liebe Grüße

Stift82

28.03.2010, 18:12

tigerbine

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RE: Vektorrechnung mit Gerade
Rot: Der Spiegel. Grün: Der Laser.

Ich verstehe immer noch nicht, was du mit der Orthogonalen willst. Dazu müsste der Einfallswinkel ja 45° betragen.

Ich habe (blau) mal die Parallele zur x-Achse durch den "Einfallspunkt" (5/3) auf dem Spiegel gezeichnet.

Spiegel (rot)

$\begin{eqnarray*} r(x) = -0.5x+5.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_r = \tan{^-1}(-0.5) \approx -26,57^{\circ} = 153,43^{\circ} \end{eqnarray*}$ [Winkel rot-blau]

Laser (grün)

$\begin{eqnarray*} g(x) = 4/3x-11/3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_g = \tan{^-1}(4/3) \approx 53,13^{\circ} \end{eqnarray*}$ [Winkel grün-blau]

Damit lauten der Winkel [rot,grün]

$\begin{eqnarray*} \beta = 26,57^{\circ} + 53,13^{\circ} = 79,7^{\circ} \end{eqnarray*}$ . Da sind wir uns ja nun einig. Augenzwinkern

Die gesuchte Gerade muss diesen Winkel auch mit [rot] einschließen. Mit der blauen gerade muss er dann einen Winkel von

$\begin{eqnarray*} \gamma =-(79,7^{\circ} + 26,57^{\circ}) = -106,27^{\circ} \end{eqnarray*}$

einschließen. Welcher Steigung entspricht dies?

$\begin{eqnarray*} m=\tan( -106,27^{\circ}) \approx 3.43 \end{eqnarray*}$

Damit lautet die Ausfallgerade

$\begin{eqnarray*} a(x)=3.43(x-5)+3 \end{eqnarray*}$

Wolltest du die Orthogonale (zu rot) zum Spiegeln nehmen? Dann ist das hier recht einfach. Man braucht nur den Schnittpunkt (5/3) und das negativinverse der Steigung von rot.

$\begin{eqnarray*} o(x)=2x-7 \end{eqnarray*}$

Die Achsen des plotters sind so gut wie nie 1:1, weswegen 90°-Winkel schwer darzustellen sind. Nun musst du noch prüfen, ob

Zitat:

C({23/6}/-1)

auf [lila] liegt.

28.03.2010, 18:29

Stift82

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RE: Vektorrechnung mit Gerade
Hallo tigerbine,

genau...ich wollte die Orthogonale zur roten Geraden bilden....

habe nun über die allgemeine Form der Geradengleichung meine Normalform hergeleitet und konnte so den Normalenvektor bestimmen.

n=1/2( 1 / 2)
mit dem winkel zwischen Vektoren habe ich nun die Winkel gebildet
damit ergeben sich dann die Winkel

phi 1 = 169,69 °
phi 2 = 10,3 °

und damit

alpha 1 = alpha 2 = 10,3 °

Liebe Grüße

Stift

28.03.2010, 18:54

riwe

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RE: Vektorrechnung mit Gerade
man kann das auch vektoriell basteln:
mit laservektor, richtungsvektor der geraden und deren normalenvektor

$\begin{eqnarray*} \vec{l}=(3,4)^T\quad{ }\vec{t}=(2,-1)^T\quad{ }\vec{n}=(1,2)^T \end{eqnarray*}$

bestimmt man $\begin{eqnarray*} \alpha \wedge \beta \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} \vec{l}=\alpha\vec{t}+\beta\vec{n} \end{eqnarray*}$

und erhält nun den richtungsvektor des reflektierten strahles aus

$\begin{eqnarray*} \vec{r}=\alpha\vec{t}-\beta\vec{n}=(7,24)^T \end{eqnarray*}$

womit man feststellt, dass P keine chance gegen den laserstrahl hat, boing Augenzwinkern

28.03.2010, 19:00

tigerbine

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RE: Vektorrechnung mit Gerade
Möge die Macht mit euch sein. Nun hat Stift ja 2 Wege und sollte gewappnet sein. Schönen Sonntag. Wink

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Vektorrechnung mit Gerade

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