Bestimmtes Integral: x e^2x plus 1

28.03.2010, 20:10

coupen

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Bestimmtes Integral: x e^2x plus 1

Meine Frage:
Hey,
wir sollen des Integrals von 0 bis 1 finden zur Funktion x*e^2x+1 dx.

Meine Ideen:
wenn ich partielle Integration anwende erhalte ich: x*e^2x+1-Integral 1*e^2x+1.

Oder muss ich hier 2x+1 substituieren? Habe dann am Ende der Rechnung e^2x+1 raus. Kann ich mir aber schlecht vorstellen...Danke!

28.03.2010, 20:14

Iorek

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Fangen wir doch mal damit an, dass wir deine Funktion richtig aufschreiben, so wie du es da stehen hast ist das nämlich $\begin{eqnarray*} xe^2x+1=e^2\cdot x^2+1 \end{eqnarray*}$ was ja nun kein Problem sein sollte zu integrieren, ich denke aber du meinst etwas anderes. Setz also bitte Klammern oder verwende Latex um deine Funktion lesbar zu machen.

28.03.2010, 21:55

coupen

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\int_0^1 \! xe^{2x+ 1} \, dx

28.03.2010, 21:57

coupen

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$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! xe^{2x+ 1} \, dx \end{eqnarray*}$

28.03.2010, 22:22

saz

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Kannst du denn

$\begin{eqnarray*} \int e^{2x+1} \, dx \end{eqnarray*}$

berechnen? Du kannst 2x+1 substituieren, wenn es dir dadurch leichter fällt ...

Falls ja: Denk mal über partielle Integration nach.

Edit: Sry, partielle Integration hattest du ja schon erwähnt.

28.03.2010, 22:25

Thorben4

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Zitat:

wenn ich partielle Integration anwende erhalte ich: x*e^2x+1-Integral 1*e^2x+1.

Auch wenn man von den fehlenden Klammern absieht, stimmt das noch nicht, denn du wählst $\begin{eqnarray*} u=x \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} e^{2x+1}=v' \end{eqnarray*}$ . Für die partielle Integration benötigst du aber $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ .

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28.03.2010, 23:10

coupen

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wie gesagt habe ja subsituiert, grenzen angepasst und dann integriert, aber komme dann auf e^2x+1 als ergebnis. kann das mal einer überprüfen bitte?

28.03.2010, 23:13

Thorben4

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Das ist nicht richtig.
Hast du $\begin{eqnarray*} e^{2x+1} \end{eqnarray*}$ wirklich integriert?

28.03.2010, 23:38

coupen

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habe 2x+1 substituiert, abgeleitet ergibt das 2, grenzen werden also nicht angepasst. dann partielle integration, ich integriere e^2x+1 und leite x ab. das ergibt: xe^y -1/2 Integral e^y dx. e^y bleibt beim integrieren e^y, dann setz ich 1 und 0 ein und subtrahiere, wie normal bei bestimmten integralen. als ergebnis erhalte ich dann
1/2 e^y

29.03.2010, 00:08

Thorben4

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Du brauchst 2x+1 doch gar nicht substituieren, dann gelangst du viel schneller zum Ergebnis.

29.03.2010, 00:20

coupen

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aha und wie soll das gehen?

29.03.2010, 10:00

saz

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Zitat:

Original von Thorben4
Du brauchst 2x+1 doch gar nicht substituieren, dann gelangst du viel schneller zum Ergebnis.

Natürlich kann man das, Thorben. Aber doch nur wenn man es "im Kopf" ausführt. Als Anfänger ist das aber nun mal nicht unbedingt die beste Variante.

@coupen Wenn man das also nochmal aufschreibt:

$\begin{eqnarray*} \int e^{2x+1} \, dx = \frac{1}{2} \int e^y \, dy = \frac{1}{2} e^y = \frac{1}{2} e^{2x+1} \end{eqnarray*}$

Und wenn du das jetzt in

$\begin{eqnarray*} \int x \cdot e^{2x+1} \, dx = \frac{1}{2} x \cdot e^{2x+1} - \int \frac{1}{2} e^{2x+1} \, dx \end{eqnarray*}$

einsetzt, kommst du tatsächlich auf $\begin{eqnarray*} e^{2x+1} \end{eqnarray*}$ ...? Wie denn das?

29.03.2010, 12:20

coupen

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$\begin{eqnarray*} xe^{y}-1/2 \int_0^1 \! e^{y} \, dx \end{eqnarray*}$

das habe ich nach der substitution dastehen, dann integriere ich, 1/2e^y bleibt bestehen und dann setz ich 1 und 0 ein und subtrahiere. am ende schreib ich für das y mein 2x+1, also 1/2 e^2x+1

29.03.2010, 12:29

saz

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Nein, so geht das nicht. Wenn du das so machen willst, musst du alle x substituieren... also sämtliche x aus der Gleichung entfernen - außerdem müsstest du dann entsprechend die Integrationsgrenzen anpassen. (Und dann müsstest du auch keine Rücksubstitution mehr machen!)
Berechne doch lieber erstmal das unbestimmte Integral ... die Integrationsgrenzen einsetzen, kannst du doch dann immernoch.

Und wie schon jemand festgestellt hatte: Die Formel für die partielle Integration lautet

$\begin{eqnarray*} \int f \cdot g' = f \cdot g - \int f' \cdot g \end{eqnarray*}$

Es fehlt also bei dir im vorderen Teil der Formel noch der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , weil du dort bereits g einsetzen musst (also die Stammfunktion).

29.03.2010, 12:38

coupen

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und wie geht das dann wenn ich ein x in der gleichung habe, jedoch 2x+1 substituiere? wäre das dann 1/2y +1 statts x? wenn ich dir grenzen anpasse, muss ich das doch die alten grenzen in die ableitung meines substituierten teils einsetzen, sprich von 2x+1 wäre die ableitung 2, wodurch ich die grenzen nicht anpassen muss.

29.03.2010, 12:42

saz

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Am einfachsten ist es, wenn du das y gleich wieder rücksubstituierst... also so wie ich es oben in meinem Beitrag schon geschrieben hatte. Rechne doch dort einfach mal weiter, ist ja nur noch das hintere Integral zu bestimmen und das kennst du ja schon.

Und: Du musst die Grenzen auch anpassen, wenn du die angesprochene Ableitung bereits berücksichtigt hast! Das gehört immer beides zusammen...

29.03.2010, 13:13

coupen

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habs jetzt ohne substitution gelöst, hab dann als ergebnis e^2x+1 (1/2x-1/4) + c...dann setz ich da die grenzen ein

29.03.2010, 13:41

saz

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Ja, genau.

Vielleicht war das auch falsch von mir formuliert - ich meinte die Substitution nur für die Lösung des einen (unbestimmten) Integrals...

Aber ist ja gut, wenn du es noch rausbekommen hast.

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