Linearform auf dichter Teilmenge

28.03.2010, 22:05

PsychoCat

Linearform auf dichter Teilmenge

Hallo zusammen!

Ich habe einige Probleme in der Funktionalanalysis, weil ich dort eigentlich nicht zu Hause bin. Gerade stellt sich mir folgendes Problem:
Sei T ein Hilbertraum und $\begin{eqnarray*} \Phi : T \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Linearform auf T. Sei $\begin{eqnarray*} D \subset T \end{eqnarray*}$ eine dichte Teilmenge. Ist $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ durch seine Werte auf D schon komplett festgelegt auf ganz T?

Und noch was nebenbei: Ist eine Menge A immer dicht in seinem "Abschluss der linearen Hülle"? (Bei mir ist das so: T ist dieser Abschluss von A und D ist Teilmenge von A, daraus folgt ja, dass A auch dicht in T liegt, die Frage ist nur ob das immer so ist oder ob es son D dann gar nicht unbedingt gibt)

Vielen Dank schonmal für jede Antwort!

29.03.2010, 10:50

Mazze

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Kommt drauf an, der Satz von Hahn-Banach liefert eine eindeutige , normerhaltende Fortsetzung, wenn der entsprechende Operator stetig und dichtdefiniert ist. Mit Normerhalten ist gemeint :

Sei $\begin{eqnarray*} \phi : D \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ beschränkt (==stetig). D Dicht in T usw. Dann gibt es genau ein stetiges

$\begin{eqnarray*} \Phi : T \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \|\phi\| = \|\Phi\| \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \Phi |_D = \phi \end{eqnarray*}$

Wie das mit unstetigen Funktionalen aussieht kann ich Dir nicht sagen.

Zitat:

Und noch was nebenbei: Ist eine Menge A immer dicht in seinem "Abschluss der linearen Hülle"? (Bei mir ist das so: T ist dieser Abschluss von A und D ist Teilmenge von A, daraus folgt ja, dass A auch dicht in T liegt, die Frage ist nur ob das immer so ist oder ob es son D dann gar nicht unbedingt gibt)

Irgendwie verstehe ich die Frage nicht. Per Definition ist eine Menge A dicht in T, wenn der Abschluss von A gleich T ist. Trivialer Weise ist damit jede Menge M dicht in Ihrem Abschluss.

30.03.2010, 00:02

PsychoCat

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Danke sehr schonmal!
Also mein $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist ein Integral, genauer ist T ein Hilbertraum in $\begin{eqnarray*} L_2(\mu) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi (g)=\int{fg\,d\mu} \end{eqnarray*}$ , das ist ja schonmal stetig. Was meinst du mit "beschränkt (==stetig)"?
Die Norm soll da natürlich auch beibehalten werden. Das wär ja alles wunderbar, den Satz muss ich mir dann wohl mal genauer ansehen.

Und zur zweiten Frage: Wenn man Abschluss so definiert wie du, dann heißt das ja erstmal nur, dass die lineare Hülle von A dicht in ihrem Abschluss liegt, aber nicht A selber oder? Also dein M wäre hier linA und nicht A.

30.03.2010, 07:49

Mazze

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Bei Linearen Abbildungen auf Banachräumen gilt Stetigkeit genau dann wenn sie Beschränkt sind. Daher spricht man in der Regel von beschränkten Operatoren. Beschränktheit heisst für Operatoren aber etwas anderes als im klassischen Sinne.

Hm, die lineare Hülle muss ich wohl vollständig überlesen haben. Betrahcte etwa die Menge

$\begin{eqnarray*} A = \{v\} \end{eqnarray*}$ für irgendein v aus irgend einem VR. Kann dann A überhaupt dicht in seiner linearen Hülle sein?

30.03.2010, 15:54

PsychoCat

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Ne stimmt, kanns irgendwie nicht, die lineare Hüller wäre {cv: c aus dem Grundkörper}. Na gut, dann ist das wohl bei mir noch zusätzlich dadurch gegeben, dass es dieses $\begin{eqnarray*} D \subset A \subset T \end{eqnarray*}$ gibt mit D dicht in T.

Aber dann klappt ja alles, danke nochmal smile

02.04.2010, 13:14

PsychoCat

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Ich muss leider doch nochmal nachfragen: Das Ergebnis ist zwar so wie ich das brauche, aber leider sehe ich das im Satz von Hahn-Banach noch nicht.
Hahn-Banach
Da ist ja nirgendwo von dichten Teilmengen und eindeutigen Fortsetzungen die Rede, sondern erstmal nur, dass es überhaupt Fortsetzungen gibt für allgemeine Teilmengen..

02.04.2010, 13:37

Mazze

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Ich wunder mch auch gerade. Ich kann mich erinnern das ich die Antwort auf Arbeit (pause Augenzwinkern

) verfasst habe, und da natürlich mein Buch nicht zur Hand hatte. Nur finde ich den Link gerade nicht. Aber ich kann dir den Satz aus [Dirk Werner : Funktionalanalysis] zeigen :

Satz II.1.5

Ist D ein dichter Unterraum des normierten Raumes X, Y ein Banachraum und $\begin{eqnarray*} T \in L(D,Y) \end{eqnarray*}$ (sprich T ist linear und stetig), so existiert genau eine Fortsetzung $\begin{eqnarray*} \tilde{T} \in L(X,Y) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \tilde{T} |_D = T \end{eqnarray*}$ . Zusätzlich gilt $\begin{eqnarray*} \|\tilde{T}\| = \|T\| \end{eqnarray*}$ .

Bei Googlebooks müsste es auch klappen von der Seite eine Vorschau zu kriegen. (Seite 48)

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