Menge der orthogonalen Vektoren

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29.03.2010, 13:17	Menggi	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge der orthogonalen Vektoren Meine Frage: Hallo Komme bei einer Aufgabe nicht auf den Lösungsweg: Sei V ein C-Vektorraum $\begin{eqnarray} V:=\mathbb C ^{2} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} z=\begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \end{pmatrix} \in \mathbb C ^{2} \end{eqnarray}$ Bestimme die Menge aller Vektoren in $\begin{eqnarray} \mathbb C^{2} \end{eqnarray}$ , welche auf z orthogonal sehen. Meine Ideen: Meine Idee war es, einen Vektor $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} a_1+b_1i \\ a_2+b_2i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einzuführen und dann das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} <z,x>=z_1x_1+x_2z_2 \end{eqnarray}$ zu berechen. Nur komme ich so auf kein allgemein gültiges Ergebnis für x1 in Abhängigkeit von x2 oder sehe nicht, wie ich darauf komme.
29.03.2010, 13:27	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Standardskalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray}$ kann man verstehen als Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}~:~ (x,y)\mapsto x^ y \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} x^* \end{eqnarray}$ für das Hermitesch Adjungierte, also das Transponierte und Konjugierte, steht. Das heißt zu bestimmen ist hier $\begin{eqnarray} \ker( ~(1-i,1+i)~) \end{eqnarray*}$ .
29.03.2010, 13:27	Menggi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der orthogonalen Vektoren Meine lösung habe ich ja vegessen. Die ist: $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} a_1-b_1 +(a_1+b_1)i \\ a_2+b_2 +(-a_2+b_2)i\end{pmatrix}, x\in \mathbb C^{2} \end{eqnarray}$ Stimmt das so?
29.03.2010, 13:46	Menggi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, mal schauen, ob ich dazu etwas aufgeschriben habe, kommt mir aber nicht bekannt vor. Danke
29.03.2010, 15:12	Menggi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab dazu nichts gefunden und vestehe nicht, welche Rechnungen ich machen muss? wie berechne ich ker()? kenne das noch nicht.
29.03.2010, 16:05	Menggi	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir da niemand weiterhelfen?
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29.03.2010, 16:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz für den Vektor x ist nicht schlecht. Beim Nullsetzen des skalaren Produktes (Null wegen der Orthogonalität) ensteht ein System von zwei Gleichungen. Dieses kannst du - bei gegebenen a1, b1 - einfach nach a2, b2 auflösen. Danach muss gelten: a2 = b1 und b2 = -a1. Kannst du das mal nachrechnen? Wie sieht dann der Vektor x aus? mY+
29.03.2010, 16:51	Menggi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bekomme ich da 2 Gleichungen? Ich hab doch einfach z1x1+z2x2=0. Der Vektor wäre dann: $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} a_1+a_2i \\ a_2-a_1i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
29.03.2010, 16:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach dem skalaren Ausmultiplizieren (-> mit dem Ergebnis 0) müssen der Real- und der Imaginärteil dieses Produktes jeweils Null sein. ____________ Du kannst ja jetzt mit dem Vektor x die Probe machen. mY+
29.03.2010, 17:28	Menggi	Auf diesen Beitrag antworten »
Somit hätte ich dann: $\begin{eqnarray} a_1-b_1+a_2+b_2=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i(a_1+b_1-a_2+b_2)=0 \end{eqnarray}$
29.03.2010, 18:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das i kannst du bei der zweiten Gleichung weglassen, es geht um den Imaginärteil. Das System kannst du nun nach zwei Variablen (a2, b2) auflösen, wobei die anderen zwei (a1, b1) als gegeben betrachtet werden können. mY+

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