Delta Epsilon Kriterium

29.03.2010, 14:13

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

Delta Epsilon Kriterium

Guten Tag mal wieder alle zusammen...

Hätte da mal ein Problem und brauch Lösungsansätze...

Man beweise, dass die durch

$\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{3}{4-x²} \end{eqnarray*}$

definierte Funktion f im Punkt xo = 1 stetig ist, indem man zu jedem epsilon > 0 ein delta (epsilon) > 0 so angibt, das für alle x € (0,2) mit | x - xo | < Delta(epsilon) gilt :

| f(x) - f(xo) | < epsilon ...

also das mit dem umformen sollte soweit geklappt haben, aber ich scheitere jetzt bei der abschätzung ...

$\begin{eqnarray*} | x - 1 | * \frac{| x | + 1}{| 4 - x² |} \end{eqnarray*}$

vielen dank schonmal

29.03.2010, 14:58

Juppo

Auf diesen Beitrag antworten »

knifflig, knifflig...:/
Ich denke da muss man abschätzen. Also wirklich eine sehr schwere Aufgabe. Ich versuch mal weiter mein Glück..

29.03.2010, 15:06

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja...immerhin ehrlich einer ...

das ist nunmal (leider) das Niveau der RWTH Aachen...

viel glück weiterhin Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber bis dato sollte das richtig sein oder ?

29.03.2010, 15:09

Juppo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach das ist doch alles LAberei. DIe Rwth lebt doch auch nur von seinem Ruf. Schwerer ist sie auf keinen Fall. Aber glaub das mal weiter... Jetzt helf ich dir bestimmt nicht mehr.

29.03.2010, 15:10

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Um das mal klarzustellen: du hast also $\begin{eqnarray*} f:~(0,2)\rightarrow \mathbb R,~x\mapsto \frac{3}{4-x^2} \end{eqnarray*}$ gegeben, und sollst zeigen, dass die Funktion in $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ stetig ist? Oder wie ist das " x € (0,2)" zu verstehen?

Und @Juppo, welche Laus ist dir denn über die Leber gelaufen?

29.03.2010, 16:00

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

@ iorek...genauso ist das zu verstehen ...

@ juppo...du bist ein kleiner schlawiner Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke schonmal mfg

Anzeige

29.03.2010, 22:42

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

keiner eine idee ?!?

30.03.2010, 10:29

tohuwabou

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht fängst du mal so an :

$\begin{eqnarray*} | f(x) - f(x_0) |= | \frac{3}{4-x²} -1 | = | \frac{-1+x²}{4-x²} | = | \frac{(x-1)*(x+1)}{4-x²} | = \frac{|(x-1)*(x+1)|}{|4-x²|} = \frac{|x-1|*(x+1)}{4-x²} < \frac{\delta*(x+1)}{4-x²} \end{eqnarray*}$ usw.

Gruß

30.03.2010, 11:25

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

guten morgen...

erstmal danke dafür, aber genau dasselbe steht ja auch oben...

bis hierhin bin ich ja auch noch gekommen...mir geht es jetzt darum, wie ich das noch abschätzen muss, damit ich genau die abhängigkeit von delta und epsilon zeigen kann.

ich habe ja nur noch net das delta eingesetzt und noch zusätzlich zu dir die dreiecksungleichung angewendet...

bitte um weitere lösungsansätze und fortschritte ...

mfg

30.03.2010, 12:17

tohuwabou

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut

smile

, dann würde ich es jetzt so abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta(x+1)}{4-x²} = \frac{\delta*(x+1)}{(2+x)*(2-x)} < \delta(x+1) <3\delta <\epsilon \end{eqnarray*}$ .

30.03.2010, 12:55

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

warum darf man den nenner denn einfach so wegfallen lassen dann ?

aber die lösung scheint plausible zu sein...danke dafür !

nur noch die erklärung bitte...

mfg

30.03.2010, 12:59

tohuwabou

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Funktion ist ja nur auf (0,2) erklärt, d.h. der Nenner ist >1 und wenn du ihn weglässt vergrößerst du also.

Edit : sry Fehler , stimmt ja gar nicht was ich sag . Ich muss mal eben überlegen smile

smile

also für $\begin{eqnarray*} x²>3 \end{eqnarray*}$ ist die Abschätzung von mir oben ja quatsch. sry , war etwas zu unüberlegt .

30.03.2010, 13:08

Juppo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den Nenner gegen 1 abschätzt, müsste es eigentlich eine Einschränkung geben. und zwar x < Wurzel (3) oder ???

30.03.2010, 13:39

tohuwabou

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, hmm also für $\begin{eqnarray*} x \in (0, \sqrt 3] \end{eqnarray*}$ ist die Abschätzung oben ja richtig und dein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ liegt ja offensichtlich drin, deshalb ist sie wohl dort auch stetig. Ich weiß aber nicht, ob die Aufgabe darauf abzielte. Vielleicht antwortet ja noch wer anders.

Gruß

30.03.2010, 15:39

BanachraumK_5

Auf diesen Beitrag antworten »

Musst du denn unbedingt diesen Epsilon Delta Quatsch benutzen? Es gibt doch einfachere Möglichkeiten um die Stetigkeit nachzuweisen.

30.03.2010, 15:45

Juppo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn in der Klausur nach dem Epsilon-Delta Kriterium gefragt wird, dann sollte man das auch benutze. Aber danke für deinen super Ratschlag...

30.03.2010, 16:08

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Delta Epsilon Kriterium
man könnte das ganze mit hilfe einer kurvendiskussion abschätzen...
betrachten wir $\begin{eqnarray*} ( \frac{x+1}{4-x^2} )'=\frac{(4-x^2)+2x(x+1)}{(4-x^2)^2} \end{eqnarray*}$

die nullstellen dieser ableitung sind $\begin{eqnarray*} -1 \pm \sqrt{3} i \end{eqnarray*}$

nun ist $\begin{eqnarray*} f(-1+\sqrt{3}i)= | \frac{-1+ \sqrt{3}i +1}{4-(-1+\sqrt{3}i)^2} | \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(-1-\sqrt{3}i)= | \frac{-1- \sqrt{3}i +1}{4-(-1-\sqrt{3}i)^2} | \end{eqnarray*}$

nun noch die beträge ausrechnen und die ränder überprüfen, da das intervall offen ist, hier die grenzwerte betrachten.

30.03.2010, 16:19

giles

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst doch die Funktion nicht differenzieren um sie auf Stetigkeit zu untersuchen geschockt

geschockt

Das Problem bei der Abschätzung (zumindest bei mir) ist, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{| x | + 1}{| 4 - x² |} \end{eqnarray*}$

auf (0,2) unbeschränkt ist.

Damit das e-d-Kriterium funktioniert braucht man aber jetzt eine Konstante, mit der man das nach oben abschätzen kann. Das scheitert aber am Nenner:

$\begin{eqnarray*} \delta \frac{| x | + 1}{| 4 - x² |} \leq \delta 3 \frac{1}{(2-x)(2+x)} \leq \delta \frac{3}{2} \frac{1}{2-x} \end{eqnarray*}$

Für (0,2) gibt es jetzt für jede Konstante c ein x so dass der Rest größer als c ist.
Man kann aber jetzt für jedes Intervall $\begin{eqnarray*} ]0,a] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a<2 \end{eqnarray*}$ abschätzen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2-x} \leq \frac{1}{2-a} \end{eqnarray*}$
Was besseres als das sehe ich auch nicht.

30.03.2010, 16:56

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von giles
Du kannst doch die Funktion nicht differenzieren um sie auf Stetigkeit zu untersuchen geschockt

geschockt

wieso denn das nicht?
ich schätze das "Restglied" über eine Kurvendiskussion ab; sicherlich wäre zu erst eigentlich noch zu zeigen, dass die funktion ( das "restglied") differenzierbar ist, aber dann sollte das unproblematisch sein.....

nun denn, wenn das Restglied bei x gegen 2 eh gegen unendlich läuft ist differenzieren auch überflüssig.
ich habe die Ränder nicht kontrolliert muss ich zu meiner schande gestehen...

30.03.2010, 17:09

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum macht ihr das so kompliziert???

Das soll ja $\begin{eqnarray*} \forall x\in (0,2)\colon |x-1| \leq\delta \end{eqnarray*}$ gelten.

Und diese Gleichungskette steht schon oben:

$\begin{eqnarray*} | f(x) - f(x_0) |= | \frac{3}{4-x²} -1 | = | \frac{-1+x²}{4-x²} | = | \frac{(x-1)*(x+1)}{4-x²} | = \frac{|(x-1)*(x+1)|}{|4-x²|} = \frac{|x-1|*(x+1)}{4-x²} \end{eqnarray*}$

Und wenn man nun bedenkt, dass $\begin{eqnarray*} x\in(0,2) \end{eqnarray*}$ ist und was das für Auswirkungen auf den Faktor im Zähler (x+1) hat, muss man das doch nur noch entsprechend abschätzen, und delta so wählen, dass der Nenner wegfällt.

30.03.2010, 17:13

giles

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von chrizke
Und wenn man nun bedenkt, dass $\begin{eqnarray*} x\in(0,2) \end{eqnarray*}$ ist und was das für Auswirkungen auf den Faktor im Zähler (x+1) hat, muss man das doch nur noch entsprechend abschätzen, und delta so wählen, dass der Nenner wegfällt.

Mach das mal, das möchte ich sehen.

30.03.2010, 17:28

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Ich zieh alles zurück. Falsche Richtung.

30.03.2010, 17:44

MatheNull0520

Auf diesen Beitrag antworten »

oh mein gott...

hätte ich gedacht dass das so eine krasse aufgabe ist hätte ich euch damit nicht "belästigt" xD

trotzdem danke für euren vielen ratschläge...sollte jmd noch einen besseren lösungsansatz finden soll er den natürlich schreiben...

ansonsten geht es einfach nach dem prinzip...mut zur lücke... für die klausur morgen Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg

30.03.2010, 17:56

tohuwabou

Auf diesen Beitrag antworten »

Möglicherweise hat derjenige, der sich die Aufgabe ausgedacht hat sie auch gar nicht selber gerechnet Big Laugh

Big Laugh

und hätte sonst ein anderes Intervall gewählt. Da es ja nur um die Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ geht wird es aber bestimmt in deiner Klausur reichen, wenn du das abschätzt wie ich vorhin. Viel Erfolg moin Freude

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »