Lösungsweg beim Grenzwert einer Reihe?!

29.03.2010, 15:29

Quaestio

Lösungsweg beim Grenzwert einer Reihe?!

Weiß nicht, wie ich bei folgender Aufgabe weiter vorgehen muss ...

Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe mittels Partialbruchzerlegung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{9} \left(\frac{1}{k-2}-\frac{1}{k+1} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{9}\sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{k-2}-\frac{1}{k-1}+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}- \frac{1}{k+1} \right) \end{eqnarray*}$

So, jetzt setzt man ja bei Teleskopsummen im Minuend n=1 ein und beim Subtrahend lässt man n gegen unendlich laufen!

Aber bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ist das ja nicht möglich ...

Wie umgehe ich das??

29.03.2010, 15:36

saz

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In der vorletzten Zeile, also bei

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=}^n \frac{1}{9} \cdot \left( \frac{1}{k-2} - \frac{1}{k+1} \right) \end{eqnarray*}$

kannst du die Summe doch in zwei Einzelsummen aufteilen. Anschließend kannst du eine Indexverschiebung machen - und dann sollten die meisten Summanden verschwinden.

29.03.2010, 15:37

klarsoweit

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RE: Lösungsweg beim Grenzwert einer Reihe?!

Zitat:

Original von Quaestio
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{9} \left(\frac{1}{k-2}-\frac{1}{k+1} \right) \end{eqnarray*}$

Hier stimmt der Übergang von der oberen zur unteren Zeile nicht.
Kleiner Check: oben sind die Nenner immer positiv, unten nicht. Da kann sogar mal in einem Bruch der Nenner gleich Null werden.

@saz: niemals glauben, was die Leute einem vorrechnen. Augenzwinkern

29.03.2010, 15:50

Quaestio

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Zitat:

Hier stimmt der Übergang von der oberen zur unteren Zeile nicht.

Eh, ja stimmt ... Da hab ich mich verzettelt!!

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{9} \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{k-\frac{2}{3} } -\frac{1}{k+\frac{1}{3} } \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{9} \cdot \left(3-\lim_{k \to \infty } \frac{1}{k+\frac{1}{3} } \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

So müsste es stimmen oder??

Zitat:

@saz: niemals glauben, was die Leute einem vorrechnen.

Trotzdem danke ;-)

29.03.2010, 15:53

saz

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RE: Lösungsweg beim Grenzwert einer Reihe?!

Zitat:

Original von klarsoweit
@saz: niemals glauben, was die Leute einem vorrechnen. Augenzwinkern

Hm ja, mal wieder zu gutgläubig gewesen Augenzwinkern

@Quaestio Ja, aber wenn du es konsistent zu deiner Rechnerei vorher machen willst, solltest du lieber $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ betrachten, nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \end{eqnarray*}$ .

29.03.2010, 16:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Quaestio
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{9} \sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{k-\frac{2}{3} } -\frac{1}{k+\frac{1}{3} } \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{9} \cdot \left(3-\lim_{k \to \infty } \frac{1}{k+\frac{1}{3} } \right) \end{eqnarray*}$

Formal müßte die Gültigkeit dieses Schrittes noch bewiesen werden, wenn man mal davon absieht, daß es in der 2. Zeile n statt k heißen müßte.

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