Integration durch Substitution

29.03.2010, 17:22

Dalice66

Integration durch Substitution

Moin,

ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme...

$\begin{eqnarray*} F_{(x)}=\int\frac{3+x}{1+\sqrt{2+x} } dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x+2} , u'=\frac{du}{dx} , u'=\frac{1}{2} (x+2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x+2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x+2} } =\frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=2udu \end{eqnarray*}$

Eingesetzt ergibt das:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1+u^2}{1+u} 2udu \end{eqnarray*}$

Wenn ich das mit 2u ausmultipliziere und kürze, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \int \frac{u+u^3}{1+u} du \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun u ausklammer, bringt mir das nix.

Der Zählergrad ist größer als der Nennergrad...

Ich schieße mal ins Blaue...

Polynomdivision und Partialbruchzerlegung?

29.03.2010, 17:27

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Diesmal gut geschossen. Freude

29.03.2010, 18:08

Dalice66

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Joo, wie schön!!!

Meine Polynomdivision bringt mich zu :

$\begin{eqnarray*} \frac{t^3+t}{t+1}=t^2-t+2, R2 \end{eqnarray*}$

Das Dumme ist, dass ich das nicht untereinander darstellen kann, sonst hätte ich euch meinen Rechenweg gezeigt.

Danach soll man das Restpolynom, hier 2, verwirrt

durch den Hauptnenner teilen. Somit käme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \int (t^2-t+2)+\frac{2}{t+1} dx \end{eqnarray*}$

(lt. Wikipedia: Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad, so dividiert man den Zähler durch den Nenner. Man erhält daraus das Polynom P und möglicherweise eine rationale Restfunktion $\begin{eqnarray*} R^*=\frac{Z^*}{N^*} \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: R(x) = P(x) + R * (x).

* Ist $\begin{eqnarray*} R^*\equiv 0 \end{eqnarray*}$ , ist das Verfahren abgeschlossen.
* Andernfalls hat der Zähler Z * von R * einen kleineren Grad als der Nenner N * . Man arbeitet dann nur mehr mit der Restfunktion R * weiter.)

29.03.2010, 19:10

Mulder

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von Dalice66
Eingesetzt ergibt das:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1+u^2}{1+u} 2udu \end{eqnarray*}$

Wenn ich das mit 2u ausmultipliziere und kürze, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \int \frac{u+u^3}{1+u} du \end{eqnarray*}$

Hast du da denn nun nicht die 2 verschludert? verwirrt

Und bei deiner Polynomdivision sollte am Ende der Rest -2 übrig bleiben, da hast du irgendwo ein Minus verschlampt. Ansonsten kannst du nun ja wohl problemlos integrieren.

29.03.2010, 22:57

Dalice66

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RE: Integration durch Substitution
Joo,

die 2 habe ich einfach mal weggeteilt. Dass ich dadurch bei einem Bruch das Ergebnis erhebliche verändere... Naja, Matheperfektionist werde ich wohl nicht mehr... unglücklich

Die -2 habe ich mir schon gedacht, da ich das Ergebnis mittels Multiplikation überprüft habe und es nur mit -2 gepasst hätte...

So, ich habe den Fehler nun gefunden

Er war in der letzten Zeile bei der Polynomdivision. Man sollte das geforderte Minus auch mitnehmen...

Ich hoffe, man sieht das ein wenig, wo der Fehler ist...

$\begin{eqnarray*} ....2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(2t+2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ......0+2 \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} \int (t^2-t+2)+\frac{-2}{t+1} dx=\frac{1}{3} t^3-\frac{1}{2} t^2+2t-2ln(t+1) \end{eqnarray*}$

29.03.2010, 23:02

Mulder

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von Dalice66
Lösung:

$\begin{eqnarray*} \int (t^2-t+2)+\frac{-2}{t+1} dx=\frac{1}{3} t^3-\frac{1}{2} t^2+2t-2ln(t+1) \end{eqnarray*}$

Das ist ja nur die halbe Lösung, wieso hast du noch nicht rücksubstituiert? Und ich vermisse immer noch die 2, die du einfach irgendwo mal "weggeteilt" hast.

Und die Integrationskonstante sollte auch hinzugefügt werden.

30.03.2010, 08:58

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x+2} , u'=\frac{du}{dx} , u'=\frac{1}{2} (x+2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x+2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x+2} } =\frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=2udu \end{eqnarray*}$

Auch hier wieder die Frage: warum diese komplizierte Substitution und nicht die einfachere Variante x = u² - 2 ? verwirrt

30.03.2010, 23:32

Dalice66

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RE: Integration durch Substitution
Hallo beide...

@Klarsoweit:

Warum so kompliziert, wenn es auch einfach geht? Ich habe, Asche ueber mein Haupt, mit copy und paste gearbeitet. Das war gar nicht so umstaendlich... Big Laugh

@Mulder:

Warum nicht zuruecksubstituiert? Dazu sage ich jetzt lieber nichts...

Die 2 nicht wieder mit hineingepackt? Siehe obere Zeile....

Die Konstante? Vergesse ich immer seltener...

Jetzt habe ich die 2 vor das Integral gezogen und zuruecksubstituiert...

$\begin{eqnarray*} 2\int (t^2-t+2)\frac{-2}{t+1} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\left(\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{2}t^2+2t-2ln(t+1) \right) +C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} (x+2)\sqrt{x+2}-(x+2)+4 \sqrt{x+2}-4ln(\sqrt{x+2}+1)+C \end{eqnarray*}$

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