Stetigkeit einer Funktion

29.03.2010, 21:24

surprise234

Stetigkeit einer Funktion

Hallo!

Ich hätte da eine Frge zu einer Aufgabe:

b) Skizzieren Sie die Funktion y = | x ^-3 | und untersuchen Sie sie auf Stetigkeit.

Die Funktion habe ich bereits gezeichnet. Sie besitzt bei 0 einen Pol, konvergiert gegen 0.

Für die Stetigkeit bräuchte ich aber doch ein x0, oder? Vielleicht kann mir mit der Stetigkeit generell jemand ein wenig auf die Sprünge helfen so 100%ig habe ich das noch nicht verstanden.

29.03.2010, 21:29

Airblader

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Für x ungleich Null ist das eine Verkettung stetiger Funktionen. Was ist dann mit der Funktion bzgl. Stetigkeit?

Bleibt x=0. Aber das ist nicht im Definitionsbereich, also kann man hier nicht auf Stetigkeit untersuchen (Stetigkeit ist eine Eigenschaft für Punkte des Definitionsbereiches).

Wenn dort steht, man soll eine Funktion auf Stetigkeit untersuchen, dann ist jeder Punkt (des Def.b.) gemeint, denn eine Funktion heißt genau dann stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.

air

29.03.2010, 22:09

surprise234

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Ok, danke schon mal!

Wie kann ich denn jetzt konkret die Stetigkeit zeigen (sie lässt sich nicht in einem Zug zeichnen ist also nicht stetig)?

29.03.2010, 22:29

surprise234

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Beziehungsweise, sie ist natürlich doch stetig da 0 ja nicht im Definitionsbereich liegt...sorry.

29.03.2010, 22:37

Airblader

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Wenn du den Satz kennst, der besagt, dass die Verkettung stetiger Funktionen stetig ist, bist du sofort fertig.
Wenn du Stetigkeit formal nachweisen sollst, musst du sagen, wie ihr Stetigkeit definiert habt.

Dieses "lässt sich ohne Absetzen zeichnen" ist nur eine grobe und alles andere als immer richtige Vorstellung. Wie du siehst - hier greift es nicht.
Nachweisen kannst du damit aber nichts. Da brauchst du schon eine Definition der Stetigkeit, keine Veranschaulichung.

air

29.03.2010, 22:53

surprise234

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Gut, in der Aufgabe steht halt "untersuchen". Wir hatten bei solchen Funktionen immer gesagt, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzert an der Stelle x0 überein stimmen sollte.

29.03.2010, 22:54

Airblader

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Das glaube ich dir nicht, denn diese Definition ist falsch.
Dann wäre die Funktion

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \mapsto \{0, 1\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}1\qquad x\neq 0\\0\qquad x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

nämlich stetig in x = 0. Und das will ich anzweifeln.

Mir ist bewusst, wie die korrekte Definition lautet. Dir offensichtlich nicht. Aber das liegt daran, dass du nun nicht richtig nachgeschaut hast.
In diesem Thread kam leider von dir bisher sehr wenig Eigenleistung, wenn ich bedenke, was ich schon alles geschrieben habe. Es ist also kaum zuviel verlangt, dass du eure Definition der Stetigkeit vernünftig wiedergibst - ihr habt sie ja irgendwo auch vernünftig stehen. Augenzwinkern

Letztlich wünschst du von mir ja auch vernünftige Antworten und nicht nur Halbsätze mit Halbwahrheiten - und die liefere ich dir ja auch.

air

29.03.2010, 23:25

surprise234

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Also ich bin jetzt auf ein Beispiel in unserem Buch gestoßen in dem mittels Fallunterscheidung bei der Betragsfunktion auf Stetigkeit geprüft wurde.

1. Fall

$\begin{eqnarray*} y=| x^-3| \end{eqnarray*}$

2. Fall

y= $\begin{eqnarray*} | -x^-3| \end{eqnarray*}$

Würde man z.B. für x=3 einsetzen käme man auf 0,037. Für alle reellen Zahlen würen also die links und rechtsseitigen Grenzwerte übereinstimmen.

29.03.2010, 23:28

Airblader

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Zitat:

Original von surprise234
1. Fall

$\begin{eqnarray*} y=| x^-3| \end{eqnarray*}$

2. Fall

y= $\begin{eqnarray*} | -x^-3| \end{eqnarray*}$

Was da steht ist Quatsch, sorry.
Du kannst übrigens mehrere Zeichen hochstellen, indem du {}-Klammern verwendest. x^{-3} wäre hier also besser.

Zitat:

Würde man z.B. für x=3 einsetzen käme man auf 0,037. Für alle reellen Zahlen würen also die links und rechtsseitigen Grenzwerte übereinstimmen.

Wenn etwas für eine Zahl gilt, dann gilt es also für alle? Dann behaupte ich nun mal, dass alle reelle Zahlen kleiner als 1 sind. Probieren wir es mit der 0. Hey, passt. Also sind alle Zahlen kleiner 1. Welch' Erkenntnis. Augenzwinkern

Ich hoffe, du merkst, dass das nicht stimmen kann.

Abgesehen davon bist du auf meinen letzten Post nicht eingegangen. Diese Definition von Stetigkeit ist falsch (und das nun beschriebene Vorgehen passt noch nichtmal zur falschen Vorgehensweise; ich weiß ehrlich gesagt gar nicht, was du da machst ..).
Bis du die korrekte Definition aus euerm Buch oder Aufschrieb herausgesucht und hier hingeschrieben hast sind weitere Versuche, Stetigkeit zu zeigen, auch sinnlos. Denn bevor man etwas zeigt, sollte man schon wissen, was man eigentlich zeigen will.

air

29.03.2010, 23:34

surprise234

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Das ist halt das Problem...In der Vorlesung ist mit wohl beim Abschreiben ein Fehler unterlaufen. Vielleicht kannst du mir freundlicher Weise die Defintion bitte sagen?

29.03.2010, 23:38

Airblader

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Vorlesung?
Dann ist das ganze also Hochschulmathematik? Also da kann man doch mal selber Google oder zumindest wikipedia bemühen, oder? unglücklich

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f: D \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann heißt f im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ genau dann stetig, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) \end{eqnarray*}$ existiert und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt schau' dir das mal durch und finde heraus, was davon bei dir nicht gestimmt oder gefehlt hat. Beachte dabei vllt. mein obiges Gegenbeispiel.

air

29.03.2010, 23:43

Jacques

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Hallo,

Es gibt zwei verschiedene Definitionen des Grenzwerts einer Funktion (siehe Wikipedia). Deswegen dürfte das mit der Definition von oben ein Missverständnis sein.

Erste Definition (veraltet):

Eine Funktion f: A --> B konvergiert genau dann für x --> x0 gegen eine Zahl a, wenn für jede gegen x0 konvergierende Folge (x_n) mit $\begin{eqnarray*} x_n \in A, x_n \neq x_0 \text{ (!)} \end{eqnarray*}$ die zugehörige Folge (f(x_n)) der Funktionswerte gegen a konvergiert.

Mit dieser Definition ist eine Funktion f: A --> B genau dann an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \in A \end{eqnarray*}$ stetig, wenn der Grenzwert an der Stelle existiert (also links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen) und der Grenzwert identisch ist mit f(x_0).

Zweite Definition:

Eine Funktion f: A --> B konvergiert genau dann für x --> x0 gegen eine Zahl a, wenn für jede gegen x0 konvergierende Folge (x_n) mit $\begin{eqnarray*} x_n \in A \quad (x_n = x_0\text{ erlaubt}) \end{eqnarray*}$ die zugehörige Folge (f(x_n)) der Funktionswerte gegen a konvergiert.

Mit dieser Definition gilt Stetigkeit genau dann, wenn der Grenzwert an der Stelle existiert, d. h. links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.

@ Airblader: Sorry, dass ich das so offen sage, aber Du hebst in letzter Zeit wirklich ab. Du bist so wie (fast) alle anderen hier (mich natürlich eingeschlossen) ein sehr durchschnittlich begabter Matheinteressierter, nicht der große Bescheidwisser, der hier von oben herab rumdozieren könnte.

29.03.2010, 23:57

Airblader

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Zitat:

Original von Jacques
@ Airblader: Sorry, dass ich das so offen sage, aber Du hebst in letzter Zeit wirklich ab. Du bist so wie (fast) alle anderen hier (mich natürlich eingeschlossen) ein sehr durchschnittlich begabter Matheinteressierter, nicht der große Bescheidwisser, der hier von oben herab rumdozieren könnte.

Ich habe nichts gegen offene Worte. Warum solltest du mir auch etwas 'vorlügen'? Sofern man es in einem vernünftigen Ton sagt, darf man mir alles sagen, was man möchte.

Ich möchte mich sicherlich nicht "von oben herab" äußern. Wenn das jemand so empfindet und es mir sagt, so tut es mir erstmal leid und dann kann ich mir je nachdem überlegen, ob ich anders (wie auch immer geartet) vorgehe oder es sein lasse - ich bin ja auch zu nichts verpflichtet.
Bisher bin ich mit meinem Auftreten jedenfalls recht gut gefahren (vllt. kleinere Ausnahmen abgesehen - niemand ist unfehlbar), bei denen, die etwas lernen wollen. Allen anderen will ich auch gar nicht helfen.
Ich bemühe mich, jedem freundlich gegenüberzutreten, der sich vernünftig geäußert hat. Aber ich stehe auch dazu, auch mal etwas direkter zu werden, wenn jemand Beiträge schlicht ignoriert oder nicht eigenständig denken will. Das ist, wie gesagt, Absicht - aber vielleicht nicht jedermanns Geschmack.

Und wenn es nun jemand so sehen will, dass ich mich "über ihn" stelle, weil ich finde, dass er eigenständig einen Begriff nachschlagen können sollte - als Student-, dann soll er das so sehen. Dazu stehe ich. Für einen Studenten sollte das in meinen Augen nunmal eine absolute Selbstverständlichkeit sein.

Allerdings gehört das alles nicht hier her. Aber das Recht, einmal zu antworten, räume ich mir nun frech ein. Augenzwinkern

Da ich dir zu "arrogant" auftrete, du nun (berechtigterweise) in den Thread eingetreten bist und ich grad weg muss, würde ich dir den Thread gerne überlassen. Augenzwinkern

Sollte noch etwas zu klären sein, so ist das etwas Privates und ich bitte darum, das auch entsprechend per PN fortzuführen.

Viel Spaß und insbesonere Erfolg noch an den Fragesteller.

Edit: Interessanter Einwand. Dieser "neue" Begriff war mir nicht bekannt, habe darum direkt mal nachgelesen. wikipedia bringt sogar genau mein Beispiel. Jetzt würde mich schlicht persönlich noch interessieren, welche Konvergenzdefinition beim Fragesteller eingeführt wurde.
Sollte das wirklich die Ursache der (Fehl-)Definition sein, so möchte ich mich natürlich entschuldigen. Das war mir schlicht nicht geläufig.

Edit #2: Ich bin meine Posts hier nun mehrmals durchgegangen. Um ehrlich zu sein kann ich deinen Einwand gegen mein Verhalten nicht nachvollziehen. Würde mich freuen, wenn du mir eine PN schickst und vielleicht kurz zitierst, ab wo es dir zu bunt wurde.

air

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