supremum, infimum, maximum und minimum einer menge

30.03.2010, 13:11

geophysikstudentin

supremum, infimum, maximum und minimum einer menge

Meine Frage:
Hallo!
Ich sitze gerade an einer Klausur-Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob ich richtig liege. In Büchern konnte ich diese Aufgabe nämlich leider nicht finden...

Bestimmen Sie Supremum und Infimum der folgenden Teilmengen von R und geben Sie an, ob ein Max bzw Min vorliegt!
M = { $\begin{eqnarray*} (-1)^n + \frac{1}{n} : n \in N \end{eqnarray*}$ }

Meine Ideen:
Beh:
i) sup M = 3/2
ii) inf M = 0
iii) max M = sup M = 3/2
iv) min M existiert nicht

Bew:
i) setze n=2 : M = 1+1/2 = 3/2
ii) setze n=1 : M = -1 + 1 = 0
iii) zu zeigen: M ( n+1) < M (n)
n=3 : M = -1 + 1/3 = - 2/3 < 3/2
n=4 : M = 1 + 1/4 = 5/4 < 3/2
...
iv) gibt es nicht, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ für n gegen $\begin{eqnarray*} \infty und (-1)^n = -1 bzw. +1 \end{eqnarray*}$

ist das so richtig, oder hab ich was vergessen/ übersehen?

30.03.2010, 13:28

Mazze

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n = 3 :

$\begin{eqnarray*} (-1)^3 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Damit kann das Infimum natürlich nicht 0 sein. Das Supremum hast Du aber richtig bestimmt.

Zitat:

iii) zu zeigen: M ( n+1) < M (n)
n=3 : M = -1 + 1/3 = - 2/3 < 3/2
n=4 : M = 1 + 1/4 = 5/4 < 3/2

Das ist kein Beweis.

Ein Minimum gibt es nicht, da hast Du recht. Um das zu zeigen musst Du für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} -1 < (-1)^m + \frac{1}{m} < (-1)^n + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gilt.

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