Zentraler Grenzwertsatz

30.03.2010, 15:52

Martinovic

Zentraler Grenzwertsatz

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Stellen Sie die Lösung bitte so dar, dass Sie geeignete Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1, X_2,..., X_n \end{eqnarray*}$ einführen! In einer Grundgesamtheit von einigen Millionen Wahlberechtigten seien 47 Prozent CSPDU-Anhänger. Wenn man eine einfache Zufallsstichprobe von 1000 Personen aus der Grundgesamtheit zieht und jeweils nach ihrer Parteipräferenz fragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit entscheiden sich zwischen 46,5 und 47,5 Prozent von ihnen für die CSPDU? Sie sollen erstens einen fast exakten Ansatz dafür hinschreiben, bei dem Sie nicht die hypergeometrische Verteilung verwenden, sondern die ...-Verteilung, und zweitens sollen Sie die Wahrscheinlichkeit näherungsweise berechnen.

Ja das erste Problem liegt darin, dass ich es nicht schaffe eine geeignete Zufallsgröße einzuführen und bräuchte da Hilfe.

Dann kommen wir zu dem fast exakten Ansatz. Dafür nehme ich die Binomialverteilung.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=465}^{475} \binom {1000} k0,47^k\cdot 0,53^{1000-k} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Nun kommen wir zum näherungsweisen berechnen, wofür ich den zentralen Grenzwertsatz benutzen würde.

Allerdings brauche ich dafür die Varianz und für die Varianz bräuchte die Zufallsgröße, was mir allerdings fehlt.

Danke

30.03.2010, 16:30

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Zitat:

Original von Martinovic
Ja das erste Problem liegt darin, dass ich es nicht schaffe eine geeignete Zufallsgröße einzuführen

$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist die Stichprobengröße - in deinem Fall dann also die Anzahl der befragten Personen. Na und wie wird man dann wohl $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ wählen, wenn man etwa errreichen will, dass am Ende $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ die Anzahl der befragten Personen angibt, die die Partei CSPDU gewählt haben? Stichwort: Indikator-Zufallsgröße!

30.03.2010, 16:42

Martinovic

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Indem man eine Bernouilliverteilte Zufallsgröße nimmt?

Dann hätte ich als Ergebnis raus: 0,2735

30.03.2010, 17:02

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Zitat:

Original von Martinovic
Indem man eine Bernouilliverteilte Zufallsgröße nimmt?

Jein - du musst dir mal die Fragen genau durchlesen: Ich hab nicht gefragt, wie die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ verteilt ist (das ist dann später wichtig), sondern wie sie bei diesem Problem überhaupt erstmal zweckmäßig definiert ist. Das mag dir primitiv erscheinen oder "selbstverständlich", ist es aber durchaus nicht immer. Also

$\begin{eqnarray*} X_i = \begin{cases} 1 & \;\mbox{falls Wähler $i$ die Partei CSPDU wählt} \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Und richtig, dieses Zufallsgröße ist dann bernoulliverteilt $\begin{eqnarray*} X_i \sim B(1,p) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=0.47 \end{eqnarray*}$ .

30.03.2010, 17:13

Martinovic

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Super

Dankeschön, dann sollte mein Ergebnis auch richtig sein.

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