Diffgleichung umschreiben

24.10.2006, 14:14

ratskrone

Diffgleichung umschreiben

Schreiben sie $\begin{eqnarray*} y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_0y=0 \end{eqnarray*}$

als System $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ (hier soll noch jeweils ein Vektor Pfeil über dem y stehen.) und zeigen sie:

$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda1)=(-1)^n(\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{(n-1)}+...+a_0) \end{eqnarray*}$

Ich hab leider überhaupt keinen Plan.

24.10.2006, 15:05

klarsoweit

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RE: Diffgleichung umschreiben

Zitat:

Original von ratskrone
als System $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ (hier soll noch jeweils ein Vektor Pfeil über dem y stehen.) und zeigen sie:

Gemeint ist also:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\vec{y} = A \cdot \vec{y} \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} \vec{y} = (y^{(n-1)}, ..., y) \end{eqnarray*}$

Wie muß dann die Matrix A ausschauen?

24.10.2006, 17:34

ratskrone

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Also 1.Schritt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y' \\ y'' \\ ...\\ y^{n} \end{pmatrix} = A*\begin{pmatrix} y \\ y' \\ ...\\ y^{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So A kann man auch ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 &...& 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & ...& 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & ...& 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots&\vdots \\ a_0 & a_1 &...&...& a_{n-1} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} det(A- \lambda E)=\begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 & 0 &...& 0 \\0 & -\lambda & 1 & 0 & ...& 0 \\0 & 0 &-\lambda & 1 & ...& 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots&\vdots \\ a_0 & a_1 &...&...& a_{n-1} & 1-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann transponiert man das am besten und multipliziert die zweite Zeile mit lambda durch und addiert die erste drauf. usw. bis man ganz unten ist oder?

Oder habt ihr ne bessere Methode?

Spielt es eigentlich irgendeine Rolle von wo nach wo y abbildet? Also funktiert dasegal ob y von IR^n----->IR abbildet oder von C nach IR^m oder?

24.10.2006, 22:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von ratskrone
So A kann man auch ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 &...& 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & ...& 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & ...& 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots&\vdots \\ a_0 & a_1 &...&...& a_{n-1} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was soll denn die letzte Spalte in der Matrix A?

25.10.2006, 00:37

ratskrone

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ja uups da müssen überall noch "Minusse" vor die $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^n=-a_0y-...-a_{n-1}y^{n-1} \end{eqnarray*}$

Oder meinst du was anderes?

25.10.2006, 00:39

ratskrone

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Uuuups Hab Spalte mit Zeile verwechselt. Letzt Spalte muss weg Hammer

Noch Tipps wie die Determinante schnell geht?

25.10.2006, 08:27

klarsoweit

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Das mit den Minussen vor den a_i habe ich auch übersehen. Also haben wir:

$\begin{eqnarray*} A- \lambda E = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 & 0 &...& 0 \\0 & -\lambda & 1 & 0 & ...& 0 \\0 & 0 &-\lambda & 1 & ...& 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots&\vdots \\ -a_0 & -a_1 &...&...& -a_{n-2} & -a_{n-1}-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bevor man sich jetzt mit Matrizenumformungen abquält, machen wir mal den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} A \cdot \vec{y} \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2006, 14:37

ratskrone

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1.Ich raff nicht warum ich das jetzt machen soll. Ich muss doch nur noch die Determinante ausrechnen.

2.Was bringt einem die matrix wenn man die diffgleichung lösen will. Wie müsste man weiter rechenen (das soll ich in der aufgabe nicht machen, würde es aber trotzdem gerne wissen)

26.10.2006, 15:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
Bevor man sich jetzt mit Matrizenumformungen abquält, machen wir mal den Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} A \cdot \vec{y} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} A \cdot \vec{y} = \frac{d}{dx}\vec{y} = \lambda \cdot \vec{y} \end{eqnarray*}$

Die lambda sind also die Eigenwerte der Matrix A bzw. die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Auf der anderen Seite soll unser Ansatz $\begin{eqnarray*} y(x) = e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray*}$ ja auch die DGL erfüllen. Deswegen ist:
$\begin{eqnarray*} \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + ... + a_0 = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ratskrone
2.Was bringt einem die matrix wenn man die diffgleichung lösen will.

Eigentlich will man ja gar nicht die DGL lösen, sondern folgendes zeigen (aus welchen Gründen auch immer):

$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda1)=(-1)^n(\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{(n-1)}+...+a_0) \end{eqnarray*}$

Dies gilt eben für jede Matrix A, die die oben beschrieben Form hat.

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