Verschoben! Trigonometrie, Substitution, Quadratische Gleichung, von allem ein bisschen :-)

30.03.2010, 17:50

DjMcCue

Trigonometrie, Substitution, Quadratische Gleichung, von allem ein bisschen :-)

Meine Frage:
Hier zuerst die Aufgabe:
Berechnen Sie alle Schnittpunkte der beiden Sinuskurven, Funktionsgraph siehe Anhang.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{3}\cdot\cos(2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=sin(x)-\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab dann die Funktionen Gleichgesetzt, Additionstheoreme angewandt und komme zu folgender Form:

$\begin{eqnarray*} h(x)=0=\sin^2(x)+\frac{1}{2\sqrt{3}}\sin(x)-1 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich substituiert:

$\begin{eqnarray*} z=\sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)=0=z^2+\frac{1}{2\sqrt{3}}z-1 \end{eqnarray*}$

Die quadratische Gleichung gelöst:

$\begin{eqnarray*} z_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Und nun beginnt mein eigentliches Problem, denn der Wert $\begin{eqnarray*} z_{2} \end{eqnarray*}$ liegt außerhalb des Definitionsbereichs von $\begin{eqnarray*} arcsin() \end{eqnarray*}$ .

Ich bekomme den ersten Schnittpunkt mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\pi \end{eqnarray*}$ richtig heraus, nur wie bekomme ich Mathematisch den zweiten ... ?

Gibt es eine Möglichkeit auch diesen rechnerisch zu bestimmen, oder muss ich mit der Symmetrie argumentieren?

Vielen Dank und beste Grüße
/tim

30.03.2010, 21:16

Abakus

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RE: Trigonometrie, Substitution, Quadratische Gleichung, von allem ein bisschen :-)

Zitat:

Original von DjMcCue
$\begin{eqnarray*} h(x)=0=z^2+\frac{1}{2\sqrt{3}}z-1 \end{eqnarray*}$

Die quadratische Gleichung gelöst:

$\begin{eqnarray*} z_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Hallo!

Wenn das richtig wäre, müsste das konstante Glied das Produkt deiner beiden Lösungen sein (nach Vieta). Das ist aber nicht der Fall, demnach RF.

Grüße Abakus smile

31.03.2010, 09:44

DjMcCue

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Sorry, war wohl ein Schreib fehler, korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} z_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}$

Dann passt auch:

$\begin{eqnarray*} z_{1}z_{2}=-1 \end{eqnarray*}$

Aber weiter komme ich damit auch nicht :-(

31.03.2010, 12:06

corvus

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Zitat:

Original von DjMcCue
Sorry, war wohl ein Schreib fehler, korrekt ist:

$\begin{eqnarray*} z_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}$

Aber weiter komme ich damit auch nicht :-(

denn der Wert $\begin{eqnarray*} z_{2} \end{eqnarray*}$ liegt außerhalb des Definitionsbereichs von $\begin{eqnarray*} arcsin() \end{eqnarray*}$ .

... genau

Zitat:

Berechnen Sie alle Schnittpunkte der beiden Sinuskurven..

Ich bekomme den ersten Schnittpunkt mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\pi \end{eqnarray*}$ richtig heraus,
nur wie bekomme ich Mathematisch den zweiten ... ?

zeichne dir mal den Einheitskreis und schau, für welche Winkel der Sinuswert gleich z1 sein
wird .. ach ja: nebenbei: wieso treibst du dich im Sektor "Hochschulmathematik" herum?

da halt noch ein Tipp:
Sinuswerte haben irgendwas mit der Ordinate von Punkten im Einheitskreis zu tun..
und wenn du durchdehst, wirst du erkennen, dass es nicht nur zwei Lösungen gibt.
.................................................................................... Wink

31.03.2010, 13:36

DjMcCue

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Zitat:

Original von corvus

zeichne dir mal den Einheitskreis und schau, für welche Winkel der Sinuswert gleich z1 sein
wird .. ach ja: nebenbei: wieso treibst du dich im Sektor "Hochschulmathematik" herum?

da halt noch ein Tipp:
Sinuswerte haben irgendwas mit der Ordinate von Punkten im Einheitskreis zu tun..
und wenn du durchdehst, wirst du erkennen, dass es nicht nur zwei Lösungen gibt.
.................................................................................... Wink

Ok, nur nochmal zur Verdeutlichung, da es sich beim Sinus um eine unendliche periodische Funktion handelt und es damit auch die Menge der Schnittpunkte unendlich groß ist, ist mir durchaus bewusst.

Nomal die ganz konkrete Frage:
Ist es mit möglich die ersten beiden Schnittpunkte rechnerisch zu bestimmen, oder kann ich da nur mit der graphischen Lösung am Einheitskreis argumentieren ... ? Den ersten Schnittpunkt liefert mir der $\begin{eqnarray*} x_{1}=arcsin(z_{1})=\frac{1}{3}\pi \end{eqnarray*}$ , was liefert mir rechnerisch den zweiten Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} x_{2}= ? =\frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$ ???
Ist in meiner Rechnung ein Semantischer Fehler enthalten?

31.03.2010, 13:46

saz

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Wie du oben schriebst, soll ja gelten:

$\begin{eqnarray*} z = \sin x \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} z = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Dann gib doch mal die beiden Lösungen für x im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ an.

31.03.2010, 13:55

DjMcCue

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Zitat:

Original von saz
Wie du oben schriebst, soll ja gelten:

$\begin{eqnarray*} z = \sin x \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} z = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Dann gib doch mal die beiden Lösungen für x im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ an.

Danke, aber genau da liegt ja mein Problem, woher soll ich da rechnerisch eine zweite Lösung bekommen, bei mir ist $\begin{eqnarray*} arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{3}\pi \end{eqnarray*}$ .

31.03.2010, 13:59

saz

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Sorry für die Frage, aber: Wie berechnest du denn den arcsin rechnerisch? In den Taschenrechner eingeben und auf seine Weisheit hoffen?

Wenn du schon erkannt hast, dass es eine zweite Lösung in dem Intervall gibt, sollte es doch kein Problem sein, diese auch zu "berechnen" indem du diverse Symmetrien ausnutzt. Der sinus erreicht für $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ sein Maximum und ist bzgl. dieser Stelle symmetrisch. Wenn du also $\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{1}{3} \pi \end{eqnarray*}$ hast, dann ist die andere (dazu symmetrische) Stelle...?

$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{\pi}{2} + \end{eqnarray*}$ ?

31.03.2010, 14:40

DjMcCue

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Auch wenn nun einige von euch lachen werden, aber ich habe den arcsin (für mich selbstverständlich) mit dem Taschenrechner berechnet. Da es scheinbar keinen anderen Weg gibt außer mit Symetrien zu begründen, hoffe ich, das es meinem Matheprof als Begründung reicht. Vielen Dank an alle die zu dieser Erkenntnis beigetragen haben.

/tim

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