Limes einer Matrix

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30.03.2010, 22:55	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes einer Matrix Guten Abend miteinander! Meine Aufgabe lautet: Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } A^n \end{eqnarray}$ der Matrix: $\begin{eqnarray} A:= \frac{1}{24} \begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 14 & -16 & 0 \\ -15 & 60 & 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zunächst habe ich das charakteristische Polynom, die Eigenwerte sowie die Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{-1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{7}{12} & \frac{-2}{3} & 0 \\ \frac{-5}{8} & \frac{5}{2} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (=A) berechnet: $\begin{eqnarray} p_A(x) = -x^3 + \frac{5}{6} x^2 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Eigenwerte = -2/3, 1/2, 1 Eigenvektor zum EW -2/3: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ EV zum EW 1/2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ EW zum EV 1: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun suche ich ein möglichst simples g, so dass gilt: g(1) = f(1) = 1^n = 1 g(1/2) = f(1/2) = (1/2)^n g(-2/3) = f(-2/3) = (-2/3)^n g(x) ist (sei) definiert durch: ax+b Das gibt folgendes Gleichungssystem: g(1) = a + b = 1 g(1/2) = (1/2)a + b = (1/2)^n g(-2/3) = (-2/3)a + b = (-2/3)^n Hat man a und b dann aus diesem Gleichungssystem herausgefunden, kann man als Lösung g(A) angeben. Mein Problem ist nun: Müsste g(x) nicht drei Variablen, also zB ax + b + c , haben? Wenn ja - dann würde ich mich evtl später nochmals melden Wenn nein: Was wären dass Lösungen meines Gleichungssystems, und wie würde man g(A) zusammenstellen? (Mit 2 Variablen hätte ich es so gemacht: g(A) = (a)A + (b)*I Besten Dank für die Hilfe und einen schönen Abend!
30.03.2010, 23:25	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis zu dem Punkt mit dem g sieht es plausibel aus, wofür du aber ein g brauchst und was das alles soll verstehe ich nicht.
30.03.2010, 23:51	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau, ich habe diesen Satz verwendet: [attach]14043[/attach] Es gilt dann also: A diagonalisierbar --> f(A) = g(A) <--> f(EW) = g(EW) Falls eine Matrix A^1000 gesucht wäre, so sähe das für zwei Eigenwerte (2 und 1) so aus: g(1) = f(1) = 1^1000 = 1 g(2) = f(2) = 2^1000 Gleichungssystem: g(x) = ax + b g(1) = a+b=1 g(2) = 2a + b = 2^1000 --> a = 2^{1000}-1 --> b = 2 - 2^{1000} --> g(A) = (2^{1000}-1)A - (2-2^{1000})I (=Lösung) Ich habe gedacht, dass dieses Vorgehen nun auch auf meinen jetzigen Fall anwendbar sein könnte...
31.03.2010, 00:01	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum diagonalisierst du nicht einfach? Die Darstellung A = PDP^-1 lässt dich die Potenz A^n einfacher ausdrücken
31.03.2010, 00:25	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm oke Und die Eigenvektoren sind dann die Spalten der Matrix P, oder? Also P = (EV zu -2/3, EV zu 1/2, EV zu 1) (das ist so zu lesen, dass die Einträge des EV zu -2/3 dier erste Spalte der Matrix füllt, etc..)
31.03.2010, 00:38	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja(so oder andersrum, merk mir das nie )
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31.03.2010, 01:15	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage: Was ist dann D? ..ich habe es gerade versucht, mit Hilfe von Maple zu lösen (per solve-Funktion), jedoch ohne Erfolg..
31.03.2010, 01:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
D=diag(-2/3,1/2,1)
31.03.2010, 15:22	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, ja, es stimmt: $\begin{eqnarray} A = P \cdot D \cdot P^{-1} \end{eqnarray}$ Man kann jetzt ja folgendes machen: $\begin{eqnarray} A^n = P \cdot D^n \cdot P^{-1} \end{eqnarray}$ Und dann n gegen unendlich laufen lassen. Laesst sich somit aber eine konkrete Matrix angeben? (..gebe ich naemlich in maple anstelle von n oo ein, so wird nichts gerechnet, sondern einfach die Matrix hoch oo angegeben. Genauso wie wenn ich es per limes mache..) ..oder waere die Aufgabe ( Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } A^n \end{eqnarray}$ ) so geloest?
31.03.2010, 17:36	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Na du musst es jetzt schon noch ausrechnen der Grenzwert von D^n lässt sich ja leicht berechnen
31.03.2010, 20:33	Manuel20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh..für n gegen oo ist D^n dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Richtig?
31.03.2010, 21:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja

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