Bestimmtes Integral: xe^-x

31.03.2010, 00:47

coupen

Bestimmtes Integral: xe^-x

Meine Frage:
Hey,
suche das Integral von 0 bis 1 aus xe^-1

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! xe^{-x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - xe^{-x} + \int_0^1 \! e^{-x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -xe^{-x}-e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -e^{-1}-e^{-1} - 1 \end{eqnarray*}$

ok soweit bin ich, ist das korrekt und wie solls weiter gehn? Augenzwinkern

31.03.2010, 00:50

tohuwabou

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RE: Bestimmtes Integral: xe^-x
Was willst du denn noch groß machen ? verwirrt

Du bist fertig.

Ps: Sollte stimmen, ich hab keinen Fehler gesehen.

31.03.2010, 00:58

coupen

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weiss nicht wann schluss ist, mir fehlt da erfahrung...

31.03.2010, 01:02

tohuwabou

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e ist ja nur die eulersche Zahl und e = 2,718281828459 , also hast du da einen Zahlenwert stehen und das ist dann der Wert deines Integrals.

31.03.2010, 09:17

saz

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RE: Bestimmtes Integral: xe^-x

Zitat:

Original von coupen
$\begin{eqnarray*} -xe^{-x}-e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -e^{-1}-e^{-1} - 1 \end{eqnarray*}$

Du hast dich da in der letzten Zeile verrechnet. Es sollte lauten:

$\begin{eqnarray*} \biggl[-xe^{-x}-e^{-x}\biggr]_0^1 = (-1 \cdot e^{-1} - e^{-1})- (0 - 1) = -2 \cdot e^{-1} + 1 \end{eqnarray*}$

27.07.2010, 17:49

Coupon

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Habe nun die gleiche Aufgabe, jedoch mit dem Integral von 1 bis unendlich. Berechne ich das Integral dann genauso und setze dann R für unendlich ein und subtrahiere das mit dem Einsetzen von 1?

27.07.2010, 18:49

saz

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Hm ja, ich denke zumindest, dass du das richtige meinst. Du musst

$\begin{eqnarray*} \lim_{R \to \infty} \left[ -x \cdot e^{-x} - e^{-x} \right]_1^R \end{eqnarray*}$

berechnen, um das gesuchte Integral zu erhalten.

Edit: Sry, war Fehler drin.

28.07.2010, 11:55

Coupon

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Habe dann am Ende:

Re^{-R} - e^{-R} + e^{-1} - e^{-1} , was mach ich dann mit dem R?

28.07.2010, 12:06

saz

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Erstens hast du zwei Vorzeichenfehler drin, also guck es dir nochmal an. Und dann musst du wie gesagt den Grenzwert $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ bilden. Falls du es nicht weißt/kennst, musst du dazu noch

$\begin{eqnarray*} \lim_{R \to \infty} R \cdot e^{-R} =\lim_{R \to \infty} \frac{R}{e^R} \end{eqnarray*}$

berechnen.

28.07.2010, 16:02

Coupon

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- Re^{-R} - e^{-R} + e^{-1} - e^{-1}

hab nur den vorzeichenfehler erkannt, sehe sonst keinen. das + vor dem e^-1 kommt ja von zweimal - .

das e^-1 - e^ -1 = 0, dann habe ich nur noch - Re^{-R} - e^{-R}, davon dann den grenzwert berechnen für beide teile?

28.07.2010, 16:34

saz

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Zitat:

Original von Coupon
hab nur den vorzeichenfehler erkannt, sehe sonst keinen. das + vor dem e^-1 kommt ja von zweimal - .

Gegen das + habe ich nichts, aber das - dahinter vor dem nächsten Term ist falsch. Schließlich gilt ja

$\begin{eqnarray*} [F(x)]_a^b = F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

... und dabei keine Klammern vergessen.

Zitat:

[...] davon dann den grenzwert berechnen für beide teile?

Ja.

28.07.2010, 16:37

Shortstop

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$\begin{eqnarray*} \left[ -x \cdot e^{-x} - e^{-x} \right]_1^R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -R e^{-R} - e^{-R} + e^{-1} + e^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac{R+1}{e^R} + \frac{2}{e} \end{eqnarray*}$

Nun den Grenzwert berechnen. Tipp: L'Hospital.

28.07.2010, 17:17

Coupon

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aus (R+1)/e^R wird dann 1/e^R also Grenzwert 0 und aus 2/e wird nach dem ableiten ja 0. oder wie mache ich das?

28.07.2010, 17:52

Shortstop

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Zitat:

Original von Coupon
aus (R+1)/e^R wird dann 1/e^R also Grenzwert 0 und aus 2/e wird nach dem ableiten ja 0. oder wie mache ich das?

2/e bleibt bestehen. Dein Grenzwert ist also 0 + 2/e = 2/e.

28.07.2010, 18:44

saz

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@knvb Der Sinn des ganzen hier ist es nicht, die Lösungen möglichst schnell zu verraten. Der Fragesteller sollte auch verstehen, was er da gerade tut, und seine Fehler möglich selbst finden.

@coupon Das Zwischenergebnis war

$\begin{eqnarray*} - \frac{R+1}{e^R} + \frac{2}{e} \end{eqnarray*}$

und du sollst den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ bilden. Welcher der beiden Brüche ist dabei überhaupt relevant? Kann man bei einem konstanten Term $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ überhaupt bilden?

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