Konvergenzradius (4^n)/(n^n) x^2n

31.03.2010, 07:47

coupen

Konvergenzradius (4^n)/(n^n) x^2n

Meine Frage:
Hey,

sollen den Konvergenzradius von

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{n}}{n^{n}}\cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$

berechnen

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n} }{a_{n+1} }= \frac{4^{n}\cdot (n+1)^{n+1}}{4^{n+1}\cdot n^{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n}\cdot (n+1) }{4n^{n} } \end{eqnarray*}$

kann ich das noch weiter kürzen? ich sehe ja das das ganze wohl gegen unendlich geht, da der zähler > nenner. kann ich das über diese weise lösen?danke!

31.03.2010, 08:44

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius (4^n)/(n^n) x^2n

Zitat:

Original von coupen
sollen den Konvergenzradius von

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{n}}{n^{n}}\cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$

berechnen

Konvergenzradien kann man nur von Reihen bestimmen. Man müßte also erstmal daraus eine Reihe machen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{4^{n}}{n^{n}} \cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von coupen
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n} }{a_{n+1} }= \frac{4^{n}\cdot (n+1)^{n+1}}{4^{n+1}\cdot n^{n}} \end{eqnarray*}$

Diese Formel gilt nur für Reihen der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ .

Damit das auf deine Reihe paßt, müßtest du vorher noch z = x² substituieren.
Kürzen kannst du noch so:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n \cdot (n+1)}{4n^n} = \frac{(1 + \frac 1 n)^n \cdot (n+1)}{4} \end{eqnarray*}$

31.03.2010, 10:57

coupen

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und wie komm ich auf den konvergenzradius den ich dann für mein substituertes x² einsetze?

31.03.2010, 11:01

klarsoweit

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Rechne erstmal den Konvergenzradius für z aus.

31.03.2010, 15:21

coupen

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inwiefern ausrechnen? sehe doch aus der gleichung das --> unendlich. dann kovergiert doch die reihe für alle x, oder ist das ein denkfehler?

31.03.2010, 15:26

klarsoweit

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Zunächst konvergiert sie für alle z, und wegen der Beziehung x² = z dann auch für alle x. Augenzwinkern

31.03.2010, 15:31

coupen

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hmm hab die formel in der klausur angewendet, aber nicht geschrieben dass es gegen unendlich geht und daher für alle x konvergiert, es gab 4p, meinste ich bekomm da 1p oder 2p drauf? Augenzwinkern

31.03.2010, 15:59

klarsoweit

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Hmm. Einfach nur eine Formel anwenden ohne ein Ergebnis anzugeben, ist in meinen Augen etwas wenig. Wenn man ein Auge zudrückt, kann man vielleicht einen Punkt geben. smile

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