Kumulierte Wahrscheinlichkeit: Warum bei p>0,5 den Wert 1 - abgelesener Wert entnehmen?

31.03.2010, 10:08

stochastiko

Kumulierte Wahrscheinlichkeit: Warum bei p>0,5 den Wert 1 - abgelesener Wert entnehmen?

Meine Frage:
Hallo alle zusammen!,

ich bräuchte kurz eure Hilfe bei folgender Sache:

Und zwar verstehe ich nicht, warum man bei p>0,5 den Wert "1 - abgelesener Wert" entnehmen muss. Es geht hierbei um die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

Für eure Hilfe/ Erläuterungen bedanke ich mich im Voraus. smile

Meine Ideen:
Stehe leider auf dem Schlauch und habe auch in anderen Foren nichts zu meiner Frage bzw. nichts vernünftiges gefunden.

31.03.2010, 11:07

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Zitat:

Original von stochastiko
habe auch in anderen Foren nichts zu meiner Frage bzw. nichts vernünftiges gefunden.

Weil du deine Frage in keinster Weise vernünftig gestellt hast. unglücklich

Also mal ganz von vorn: Um welche Verteilung geht es, in welcher Tabelle willst du was ablesen?

31.03.2010, 13:15

stochastiko

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Kumulierte Wahrscheinlichkeit: Warum bei p>0,5 den Wert 1 - abgelesener Wert entnehmen?

Zitat:

Original von Arthur Dent

Also mal ganz von vorn: Um welche Verteilung geht es, in welcher Tabelle willst du was ablesen?

Hallo Arthur Dent!

danke für den Hinweis Augenzwinkern

also zunächst geht es um die Binomialverteilung.
Und zwar will ich die summierte wahrscheinlichkeit in der tabelle für kumulierte binomialverteilung (auch Summenverteilung genannt) ablesen.

Die Trefferwahrscheinlichkeit p beträgt dabei p>0,5, sodass ich für eine Wahrscheinlichkeit z.B. P(X<=k) den abgelesenen wert in der Tabelle erstmal von 1 abziehen muss, um die Wahrscheinlichkeit für P(X<=k) zu erhalten.

Bei mir im Buch steht dazu folgendes:
"Bei grün unterlegtem Eingang, d.h. p>=0,5 gilt P(X<=k) = 1 - abgelesener Wert "

Meine Frage ist nun: Warum muss man bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von p>0,5 den abgelesenen Wert in der Tabelle von 1 abziehen? verwirrt

31.03.2010, 13:37

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Der dahinter stehende Sachverhalt ist folgender:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} X \sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ , dann besitzt die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y=n-X \end{eqnarray*}$ die Verteilung $\begin{eqnarray*} Y\sim B(n,1-p) \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet, dass man im Fall $\begin{eqnarray*} p\geq 0.5 \end{eqnarray*}$ die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auf eine Binomialverteilung mit einem Parameter $\begin{eqnarray*} p'=1-p \leq 0.5 \end{eqnarray*}$ zurückführen kann, man spart also die "Hälfte" der Tabelle. Die Berechnung geht dann so

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k) = P(n-X \geq n-k) = P(Y\geq n-k) = 1-P(Y \leq n-k-1) \end{eqnarray*}$

oder kurz mit den Tabellenwerten geschrieben

$\begin{eqnarray*} p_B(n,p,k) = 1-p_B(n,1-p,n-k-1) \end{eqnarray*}$ für alle ganzzahligen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq k<n \end{eqnarray*}$ .

D.h. du schaust nicht nur in der Tabelle für $\begin{eqnarray*} 1-p \end{eqnarray*}$ nach und rechnest $\begin{eqnarray*} 1-p_B(\cdots) \end{eqnarray*}$ , sondern musst auch an der Stelle $\begin{eqnarray*} n-k-1 \end{eqnarray*}$ statt an der Stelle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ablesen!

31.03.2010, 14:02

stochastiko

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Hallo Arthur Dent ,
vielen Dank für deine Antwort smile

Verstehe ich das richtig, dass es nach dem prinzip der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses läuft?? verwirrt

31.03.2010, 14:28

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Das ist ein wichtiger Teil der Betrachtungen, und zwar hier:

$\begin{eqnarray*} P(Y\geq n-k) = 1-P(Y \leq n-k-1) \end{eqnarray*}$ .

31.03.2010, 16:13

stochastiko

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Das ist ein wichtiger Teil der Betrachtungen, und zwar hier:

$\begin{eqnarray*} P(Y\geq n-k) = 1-P(Y \leq n-k-1) \end{eqnarray*}$ .

Das ist doch so in etwa die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, oder?

Also wahrschienlichkeit = 1 - Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses verwirrt

31.03.2010, 16:33

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Naja, hab ich doch gesagt - wie oft muss ich es noch bestätigen?

31.03.2010, 18:22

stochastiko

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aso. war mir nämlich nicht klar. sry.

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe. smile

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