Integralsubstitution

31.03.2010, 10:17

Dalice66

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Integralsubstitution

Moin Leute,

koennt ihr mal folgende Aufgabe ueberpruefen?

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{1}{6}} ^1\frac{(6x+1)cos(\sqrt{3x^2+x})sin(\sqrt{3x^2+x})}{\sqrt{3x^2+x}} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{3x^2+x}, t^2=3x^2+x, t':2t=6x+1, dx=\frac{dt}{2t} \end{eqnarray*}$

Neue Grenzen sind

$\begin{eqnarray*} \int_\frac{1}{2} ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_\frac{1}{2} ^2 \frac{2t*cos(t)sin(t)}{t} \frac{dt}{2t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{sin^2x}{2}\right]_{\frac{1}{2}}^{2} =-\frac{1}{4} *\left[cos2x\right]_{\frac{1}{2} }^{2} =\frac{1}{4}(-cos(4)+cos(1)) \end{eqnarray*}$

31.03.2010, 10:48

klarsoweit

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RE: Integralsubstitution

Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{3x^2+x}, t^2=3x^2+x, t':2t=6x+1, dx=\frac{dt}{2t} \end{eqnarray*}$

Was ist denn das für ein Humbug? verwirrt

verwirrt

Wenn $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{3x^2+x} \end{eqnarray*}$ ist, dann ja wohl nicht 2t = 6x+1 sein. unglücklich

unglücklich

31.03.2010, 11:02

Mystic

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RE: Integralsubstitution

Zitat:

Original von klarsoweit
Was ist denn das für ein Humbug? verwirrt

verwirrt

Wenn $\begin{eqnarray*} t=\sqrt{3x^2+x} \end{eqnarray*}$ ist, dann ja wohl nicht 2t = 6x+1 sein. unglücklich

unglücklich

Ja, und um noch eins draufzusetzen, folgert er aus 2t=6x+1 offenbar weiter, dass $\begin{eqnarray*} dx=\frac {dt}{2t} \end{eqnarray*}$ sein muss... Ich fürchte, wenn man da alle anderen Postings desselben Autors mit ähnlichen Schnitzern dazunimmt, ist da wohl Hopf und Malz verloren... unglücklich

unglücklich

Edit: Sorry, habe da oben wohl etwas über das Ziel hinausgeschossen... Als kleiner Ausgleich ein Tipp, wie's richtig geht:

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{3x^2+x}, \quad dt = \frac {6x+1} {2 \sqrt{3x^2+x}}\, dx \end{eqnarray*}$

Wichtig ist (und das bei jeder erfolgreichen Substitution!), dass der Term für dt (bis auf eventuell einen konstanten Faktor, was man ja leicht ausgleichen kann!) im Integranden vorkommt...

01.04.2010, 22:36

Dalice66

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RE: Integralsubstitution
Hallo beide,

das ist leider das Problem. In der Schule nur Mathe-Grundkurs gehabt und jetzt hängt man da und würgt sich ein zustande... Ich habe leider nie solche Dinger gesehen und musste nur leichteste Integralrechnung machen, wie

$\begin{eqnarray*} \int x^3+2x+1dx \end{eqnarray*}$

Das kann man nicht mit dem Jetzigen vergleichen und unter normalen Umständen würde ich euch mit dem Kram nicht zukleistern, ist ja auch für mich panne, sich so zu outen...

Bei diesem Aufgabentyp:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^\infty \frac{1}{(x+3)\sqrt{x+2} } \end{eqnarray*}$

haben ich mit der Hilfe des Forums den Wurzelterm substituiert, quadriert, differenziert und nach x dann umgestellt. Deswegen der ganze Kauderwelsch. (Außerdem musste ich bei der "alten" Aufgabe so vorgehen, damit ich das x aus dem Zähler wegbekomme. Sonst ginge

$\begin{eqnarray*} \int ...du \end{eqnarray*}$

ja auch gar nicht...Nur laut gedacht. Die Vorgehensweise wird erst nach und nach klar)

"Wichtig ist (und das bei jeder erfolgreichen Substitution!), dass der Term für dt (bis auf eventuell einen konstanten Faktor, was man ja leicht ausgleichen kann!) im Integranden vorkommt..."

$\begin{eqnarray*} \int (...+...)'*(...+...)dx \end{eqnarray*}$

Wobei

$\begin{eqnarray*} (...+...) \end{eqnarray*}$

substituiert und differenziert wurde und dann weggekürzt.

$\begin{eqnarray*} (...+...)' \end{eqnarray*}$ soll jetzt einfach mal einen Term darstellen, der die

differenzierte Form von $\begin{eqnarray*} (...+...) \end{eqnarray*}$ hat. Es ist, glaube ich, das, was du meinst, oder?

Ich muss erstmal diese Frage klären, sonst brauche ich gar nicht weitermachen und lande wieder einen fauxpas

01.04.2010, 23:45

AD

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@Dalice66

Statt ständig immer neue absurde Regeln zu erfinden, solltest du schlicht und einfach mal die Substitution genau gemäß der dafür vorgesehenen Regeln durchführen! Soviel ist das doch nicht:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{g(a)}^{g(b)} ~ f(x) ~ \dd x = \int\limits_{a}^{b} ~ f(g(u))\cdot g'(u) ~ \dd u \qquad (1) \end{eqnarray*}$

für Substitution $\begin{eqnarray*} x=g(u) \end{eqnarray*}$ . Gelegentlich ist es auch günstiger, das ganze "andersherum" zu lesen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b} ~ f(h(x))\cdot h'(x) ~ \dd x = \int\limits_{h(a)}^{h(b)} ~ f(t) ~ \dd t \qquad (2) \end{eqnarray*}$

für Substitution $\begin{eqnarray*} t=h(x) \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall bietet es sich an, (2) mit $\begin{eqnarray*} t=h(x)=\sqrt{3x^2+x} \end{eqnarray*}$ zu nutzen, Details dazu stehen im Beitrag von Mystic und ja eigentlich auch schon in deinem Eröffnungsbeitrag, nur dort leider fehlerhaft umgesetzt.

P.S.: Selbstverständlich gibt es auch Techniken, aus $\begin{eqnarray*} t^2 = 3x^2+x \end{eqnarray*}$ durch Differenzieren auf $\begin{eqnarray*} 2t ~ \dd t = (6x+1) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ zu schließen und das dann anzuwenden. Das ist durchaus richtig, aber ohne eine gewisse Sicherheit und Souveränität, die du - wie du selbst zugeben musst und vermutlich auch wirst - auf keinen Fall hast, solltest du die Finger davon lassn. Halte dich lieber streng an obige Regeln (1) und (2), dann kann auch nichts schiefgehen.

05.04.2010, 17:18

Dalice66

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Hi,

tut mir leid, dass ich diese Aufgabe nochmal anfasse. Sie lässt mir aber keine Ruhe...

Ich kann das Theoretische

Zitat:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{g(a)}^{g(b)} ~ f(x) ~ \dd x = \int\limits_{a}^{b} ~ f(g(u))\cdot g'(u) ~ \dd u \qquad (1) \end{eqnarray*}$

für Substitution $\begin{eqnarray*} x=g(u) \end{eqnarray*}$ . Gelegentlich ist es auch günstiger, das ganze "andersherum" zu lesen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b} ~ f(h(x))\cdot h'(x) ~ \dd x = \int\limits_{h(a)}^{h(b)} ~ f(t) ~ \dd t \qquad (2) \end{eqnarray*}$

für Substitution $\begin{eqnarray*} t=h(x) \end{eqnarray*}$ .

leider nicht umsetzen.

Somit bin ich nochmal ansatzweise durch die Aufgabe gegangen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{1}{6}} ^1\frac{(6x+1)cos(\sqrt{3x^2+x})sin(\sqrt{3x^2+x})}{\sqrt{3x^2+x}} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t'=\frac{1}{2(\sqrt{3x^2+x)} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{t'} =dx \end{eqnarray*}$

Alles eingesetzt, macht das:

$\begin{eqnarray*} \int_\frac{1}{2} ^2 \frac{(6x+1)cost*sint}{t} 2tdt=2\int_\frac{1}{2} ^2(6x+1)cost*sintdt \end{eqnarray*}$

Ich denke, bis hierhin gibt es noch nichts auszusetzen

Was mich jetzt noch stört, ist natürlich der Term

$\begin{eqnarray*} (6x+1) \end{eqnarray*}$

Helft mir bitte, die Aufgabe zuende zu bringen (ich weiß, Tips gab es schon genug, ich kann sie nicht umsetzen) traurig

traurig

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05.04.2010, 18:24

saz

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Arthur Dent schrieb doch, dass du die Substitution

$\begin{eqnarray*} t := \sqrt{3x^2 +x} \end{eqnarray*}$

nutzen sollst - dann tu es doch einfach mal! Bei deiner Rechnung da oben hast du durchaus einen Fehler begangen, nämlich die Kettenregel vergessen (sonst hättest du auch kein Problem mit den (6x+1))...

Also, wie lautet

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray*}$

richtig?

05.04.2010, 18:30

Leopold

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Er sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Ich möchte deine Frage nicht beantworten, sondern dich bitten, die durch

$\begin{eqnarray*} y = \left( \sin \sqrt{3x^2 + x} \right)^2 \end{eqnarray*}$

definierte Funktion zu differenzieren. Ich glaube, wenn du das einmal richtig sorgfältig und mit wachem Verstand ausgeführt hast, wird dir ein Licht aufgehen. Und dann solltest du die eigentliche Integrationsaufgabe noch einmal von vorne beginnen, immer dich an die Ableitungsaufgabe erinnernd.

Damit du dich nicht wieder in Einzelheiten verlierst, beachte die Struktur als fortgesetzte Verkettung:

$\begin{eqnarray*} x \ \mapsto \ t = 3x^2 + x \ \mapsto \ s = \sqrt{t} \ \mapsto \ u = \sin s \ \mapsto \ y = u^2 \end{eqnarray*}$

Nach Kettenregel gilt dann (von hinten nach vorne):

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{\dd y}{\dd u} \cdot \frac{\dd u}{\dd s} \cdot \frac{\dd s}{\dd t} \cdot \frac{\dd t}{\dd x} \end{eqnarray*}$

Und dann mußt du zum Schluß wieder resubstituieren, so daß nur noch die Variable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vorkommt.

05.04.2010, 20:39

Dalice66

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Hi Leute,

der entscheidende Hinweis war das Übersehen der Kettenregel. Somit komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{2tdt}{6x+1} =dx \end{eqnarray*}$

(Was schon x-mal in irgendeiner Form von euch angedeutet wurde.) Ich habe mir die ganze Zeit über nicht erklären können, wie Mystic auf

$\begin{eqnarray*} \quad dt = \frac {6x+1} {2 \sqrt{3x^2+x}}\, dx \end{eqnarray*}$

gekommen ist

Alles eingesetzt, komme nun auf

$\begin{eqnarray*} 2\int_\frac{1}{2} ^2 (6x+1)cost*sint\frac{dt}{6x+1} \end{eqnarray*}$

Die t's haben sich weggekürzt, das

$\begin{eqnarray*} (6x+1) \end{eqnarray*}$

habe ich extra nochmal hingeschrieben, kürzt sich auch weg, also bleibt nur noch:

$\begin{eqnarray*} 2\int_\frac{1}{2} ^2cost*sintdt \end{eqnarray*}$ zum intigrieren

05.04.2010, 20:56

Leopold

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... was schon wieder von der Form $\begin{eqnarray*} \int_a^b u'(t) \cdot u(t)~\dd t \end{eqnarray*}$ ist.

05.04.2010, 21:07

Dalice66

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Hi Leopold,

ich weiß, du gibst dir die allergrößte Mühe. Es ist nicht umsonst. Andere Integrale habe ich mittlerweile durch euch hinbekommen...Ist ja auch schon was.

Meine Integraltafeln sagen mir, dass das ein Grundintegral sein soll...

$\begin{eqnarray*} \int sin(ax)*cos(ax)dx=\frac{sin^2(ax)}{2a} =\frac{1}{4a} *cos(2ax) \end{eqnarray*}$

05.04.2010, 21:14

saz

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Nicht in Integraltafeln gucken, sowas kann man auch selbst lösen... Wie Leopold schon schrieb, schreit das nach Substitution. Also was würdest du substituieren? (Soviele Möglichkeiten gibt's ja eh nicht)

05.04.2010, 21:26

Dalice66

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Hi,

ich würde u(t) substituieren...

Das wird differenziert, was dann wieder u' brächte. Nach Rücksubstitution sollte man dann 2*u' haben. So etwas ähnliches habe ich bei partieller Integration von

$\begin{eqnarray*} \int e^x*sin(2x)dx \end{eqnarray*}$

schon mal gesehen.

05.04.2010, 21:27

saz

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Ja gut. Aber was würdest du denn in dem konkreten Fall da oben substituieren?

$\begin{eqnarray*} \int \cos t \cdot \sin t \, dt \end{eqnarray*}$

05.04.2010, 21:34

Dalice66

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cost...

Was mich über

$\begin{eqnarray*} dt=\frac{ds}{s'} , s'=sint \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} \frac{cos^2t}{2} \end{eqnarray*}$

bringt.

Upps, da hat sich etwas mit den postings überschnitten...

05.04.2010, 21:37

saz

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Ja, okay. Dann wende mal die Substitutionsformel an... und rechne es aus smile

smile

05.04.2010, 21:51

Dalice66

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Hi,

in meinem Vorposting habe ich Einiges noch hinzugefügt...Nur Cos(t) war mir als Antwort dann doch zu wenig

05.04.2010, 21:55

saz

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Jipp, das Ergebnis stimmt soweit. Jetzt musst du noch die Integrationsgrenzen einsetzen und bist fertig...

Edit: Sorry, mein Fehler, du hast da in dem Integral noch ein Vorzeichenfehler drin:

$\begin{eqnarray*} (\cos x)' = - \sin x \end{eqnarray*}$

05.04.2010, 22:09

Dalice66

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Prost

nach viel Nervenaufreiberei, nicht nur von mir, habe ich das dann doch noch hinbekommen...

$\begin{eqnarray*} 2\int_\frac{1}{2} ^2cost*sintdt=2-\left[\frac{cos^2t}{2} \right]_{\frac{1}{2} }^{2} =-\left((cos(2))^2-(cos\left(\frac{1}{2} \right) )^2\right) \end{eqnarray*}$

Wie ich bereits schon schrieb...Der Entscheidende Hinweis war die Kettenregel. Was das dann alles verursachen kann, hat man ja gesehen.

Wink

Wink

05.04.2010, 22:14

saz

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Guck dir nochmal meinen letzten Post an, du hattest bei der letzten Substitution ein Vorzeichen vergessen (Sorry, hatte ich auf die Schnelle übersehen)... Dann solltest du erhalten

$\begin{eqnarray*} \cos^2 \left( \frac{1}{2} \right) - \cos^2 (2) \end{eqnarray*}$

05.04.2010, 22:16

Dalice66

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Jo,

habe ich jetzt auch.

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