Beweis mit Induktion

24.10.2006, 15:44

SilverBullet

Beweis mit Induktion

Habe hier eine Aufgabe die ich nicht ganz durchgerechnet bekomme.

Aufgabe :Für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} (1+1/n)^{n} \geq 2 \end{eqnarray*}$

Da man dies wohl durch Induktion beweisen muss habe ich den Anfang gemacht mit n = 1

Dann kommt raus (erst mal alles auf einen Bruch)

= $\begin{eqnarray*} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n\geq 2 \end{eqnarray*}$

für 1 : $\begin{eqnarray*} 2 \geq 2 \end{eqnarray*}$

und für den Induktionsschritt (n+1) : $\begin{eqnarray*} \left( \frac{(n+1)+1}{n+1} \right)^{n+1}\geq 2 \end{eqnarray*}$

Alle Versuche das auf die richtige Form zu bringen sind leider gescheitert unglücklich

Hat jmd ne idee ?

24.10.2006, 15:53

klarsoweit

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RE: Beweis mit Induktion
Vollständige Induktion ist unnötig, verwende die Bernoullische Ungleichung. Augenzwinkern

24.10.2006, 16:39

SilverBullet

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omg
Omg wie muss ich das denn machen ?

Reicht es wenn ich für

$\begin{eqnarray*} (1+1/n)^{n} \geq 2 \end{eqnarray*}$
Bernoulli anwende und x = 1/n setze

dann kommt ja raus
$\begin{eqnarray*} (1+1/n)^{n} \geq 1+n/n =2 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die Bernoulli Ungleichung... Reicht das dann als Beweis oder muss ich die dann nochmal extra beweisen mit Induktion ?

25.10.2006, 20:15

SilverBullet

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RE: omg
sorry das ich pushe unglücklich

aber gleich ist schicht ^^ stimmt das oben so ?

26.10.2006, 08:52

klarsoweit

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RE: omg

Zitat:

Original von SilverBullet
dann kommt ja raus
$\begin{eqnarray*} (1+1/n)^{n} \geq 1+n/n =2 \end{eqnarray*}$

Das reicht vollkommen. Augenzwinkern