Eindeutikeit von Lsg. einer D.gl. nach Picard-Lindelöf

31.03.2010, 19:29

Curel

Eindeutikeit von Lsg. einer D.gl. nach Picard-Lindelöf

Meine Frage:
Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, lösen Sie das Anfangswertproblem und treffen Sie eine begründete Aussage über die Eindeutigkeit der Lösung.

$\begin{eqnarray*} t y^{'} = y + \sqrt{t^{2} + y^{2}} \\ y(1) = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \text{Allgemeine Loesung:}\\ \\ \text{für } t\neq 0 \text{:} \\ \\ y^{'} = \frac{y}{t} + t \sqrt{1+(\frac{y}{t})^{2}} \\ u = \frac{y}{t} \\ u^{'} = \sqrt{1+u^{2}} \\ \int \! \frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}} \, du = \int \! 1 \, dt + c_{0}, c_{0} \in \mathbb R \\ \sqrt{1 + u^{2}} + u = c e^{t}, c = \frac{e^{c_{0}}}{2} \\ y = c t e^{t} - \sqrt{t^{2} + y^{2}} \\ y:\mathbb R /\{0\} \rightarrow \mathbb R \\ \\ \text{für } t = 0: \\ 0 y^{'} = y + \sqrt{0^{2} + y^{2}} \\ -y = \sqrt{y^2}\\ y = 0, -1 \\ y:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \\ \\ \\ \text{Spezielle Loesung:} \\ y(1) = 0\\ c = \frac{1}{e} \\ y = \frac{1}{e} t e^{t} - \sqrt{t^{2} + y^{2}} \\ y:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \\ \\ \text{Lipschitz-Bedingung ueberpruefen:}\\ \\ y(t_{0}) = y_{0} \\ f \in C(I \times J) \\ I = [t_{0} - a, t_{0} + a, ]\\ J = [y_{0} - b, y_{0} + b, ]\\ \\ \exists L: |f(t,y) -f(t,z)| \leq L |y-z|, \forall t \in I, y,z \in J \\ \end{eqnarray*}$

Habe ich somit drei unterschiedliche Lösungen und es liegt keine Eindeutigkeit vor?

Oder lassen sich die drei Lösungen zu einer zusammenfassen?

Wie würde ich dann den Satzes von Picard-Lindelöf anwenden? Beim Ueberpruefen der Lipschitz-Bedingung habe ich große Schwierigkeiten, da ich mir nicht vorstellen kann wie sich y' und y verhalten.

31.03.2010, 20:10

saz

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Zu dem Teil $\begin{eqnarray*} t \not= 0 \end{eqnarray*}$ :

Du hast da glaube ich einen Fehler in deiner Umformung

$\begin{eqnarray*} t \cdot y' = y + \sqrt{t^2 + y^2} \Rightarrow y' = \frac{y}{t} + \sqrt{1+\left( \frac{y}{t} \right)^2} \end{eqnarray*}$

(genauer gesagt müsste man an der Stelle auch noch das Vorzeichen von t beachten, aber sei $\begin{eqnarray*} t > 0 \end{eqnarray*}$ )

Und wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} u := \frac{y}{t} \end{eqnarray*}$ setzt, folgt doch, dass

$\begin{eqnarray*} u \cdot t = y \Rightarrow u' \cdot t + u = y' = u + \sqrt{1+u^2} \Rightarrow u' = \frac{1}{t} \cdot \sqrt{1+u^2} \end{eqnarray*}$

oder hab ich mich irgendwo selbst vertan? verwirrt

Aber sollte schon stimmen... Als Lösung sollte jedenfalls $\begin{eqnarray*} y(t) = t \cdot \sinh(\ln(t)+c) \end{eqnarray*}$ rauskommen... Was du da hast, ist auf jeden Fall falsch, denn in deiner Lösung der DGL kommt ja rechts vom Gleichheitszeichen bei dir immernoch y vor:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y = c t e^{t} - \sqrt{t^{2} + y^{2}} \end{eqnarray*}$

Edit: Da du ja anscheinend sowieso nicht so schnell antwortest: Wenn dann hast du nur 2 Lösungen, denn bei der "speziellen Lösung" hast du doch nur die Konstante so bestimmt, dass die Lösung das Anfangswertproblem erfüllt.

Und zur Eindeutigkeit: Wie habt ihr denn Eindeutigkeit definiert?

Zur Lipschitz-Bedingung: Versuche doch mal den Mittelwertsatz anzuwenden, vllt. hattet ihr ja sogar eine Aussage dazu in der Vorlesung.

01.04.2010, 10:11

ghuji

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Hi Saz,

ich habe das folgendermaßen berechnet:

$\begin{eqnarray*} u = \frac{y}{t}\\ u^{'} = y^{'} \frac{1}{t} - y \frac{1}{t^{2}} = \frac{1}{t} (y^{'}-\frac{y}{t}) = \frac{1}{t} (y^{'}-u)\\ u^{'} = \frac{1}{t} (u+t \sqrt{1+u^{2}}-u) = \sqrt{1+u^2} \end{eqnarray*}$

ich bin aber leider ziemlich außer Übung, was Mathematik betrifft, deswegen bin ich mir einfach unsicher bei meinen Rechnungen.

01.04.2010, 10:16

saz

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So falsch ist das gar nicht, aber du hast dein y' falsch aufgeschrieben... vor der Wurzel steht nicht nochmal der Faktor t, also

$\begin{eqnarray*} y' = u + \sqrt{1+u^2} \end{eqnarray*}$

Damit wird aus

Zitat:

Original von ghuji
$\begin{eqnarray*} u^{'} = \frac{1}{t} (u+t \sqrt{1+u^{2}}-u) = \sqrt{1+u^2} \end{eqnarray*}$

dann das gleiche wie ich oben hatte:

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{1}{t} \cdot (u+\sqrt{1+u^2} - u) = \frac{1}{t} \cdot \sqrt{1+u^2} \end{eqnarray*}$

(Nur so zur Einordnung: Bist du curel oder habt ihr nur beide die gleiche Aufgabe gerechnet?)

01.04.2010, 11:36

ghuji

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mein Rechenweg bei der Umformung von y' war folgender:
$\begin{eqnarray*} y^{'} = \frac{y}{t} + \frac{1}{t} \sqrt{t^{2} + y^{2}} = \frac{y}{t} + \sqrt{ \frac{t^{2} + y^{2}}{t^2} } = \frac{y}{t} + \sqrt{ t^2 (1 +\frac{y^2}{t^2}) } \\ = \frac{y}{t} + t \sqrt{1+ \left( \frac{y}{t}\right)^{2}}\\ \end{eqnarray*}$

dann muss es wohl so richtig sein:

$\begin{eqnarray*} y^{'} = \frac{y}{t} + \frac{1}{t} \sqrt{t^{2} + y^{2}} = \frac{y}{t} + \sqrt{ \frac{t^{2} + y^{2}}{t^2} } = \frac{y}{t} + \sqrt{ t^2 \left(\frac{1 +\frac{y^2}{t^2}}{t^2}\right) } \\ = \frac{y}{t} + \sqrt{1+ \left( \frac{y}{t}\right)^{2}}\\ \end{eqnarray*}$

Somit liegt mein erstes Problem eindeutig in grundlegenden algebraischen Umformungen.

Was mir aber noch mehr Kopfschmerzen bereitet ist, dass ich nicht weiß wie Picard-Lindelöf und die Lipschitz-Bedingungen auf so eine Differentialgleichung anwenden kann.

Wie erkenne ich beim Lösen der D.gl. ob es mehr als nur eine Lösung gibt?
Falls es doch nur eine gibt, wie kann ich die Lipschitz-Bedingungen anwenden?
Ich suche mal ein paar einfachere D.gl. und stelle sie hier ins Forum!?

PS: Ja, ich bin curel. Ich habe heute morgen lediglich meinen alten Zugang wieder entdeckt smile

01.04.2010, 11:47

saz

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Nunja, der Satz von Picard-Lindelöf sagt dir ja gerade, ob es eine eindeutige Lösung gibt. Das wichtige ist, dass es diese Lösung (fast) immer nur auf einem bestimmten Interall gibt!

Aber dazu müssen wir ihn natürlich erstmal anwenden. Sei dazu mal

$\begin{eqnarray*} f(t,y) := \frac{y}{t} + \sqrt{1 + \left( \frac{y}{t} \right)^2} \end{eqnarray*}$

Nun wollen wir zeigen, dass ein $\begin{eqnarray*} L \geq 0 \end{eqnarray*}$ existiert, sodass für alle $\begin{eqnarray*} t \in [1-d,1+d] \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} y_1,y_2 \in [-c,c] \end{eqnarray*}$ gilt, dass

$\begin{eqnarray*} |f(t,y_1) - f(t,y_2)| \leq L \cdot |y_1-y_2| \end{eqnarray*}$

(wobei das c,d hier noch zu bestimmen ist - es kann einfach sein, dass man hier Intervalle definieren muss, um eine entsprechende Lipschitz-Bedingung zu erhalten). Wie gesagt kann man hier den Mittelwertsatz anwenden:

$\begin{eqnarray*} |f(t,y_1) - f(t,y_2)| \leq \left\| \frac{\partial f(t,y)}{\partial y} \right\| \cdot |y_1 - y_2| \end{eqnarray*}$

Also kannst du ja zunächst mal die obige partielle Ableitung berechnen und versuchen zu schauen, ob man diese Ableitung (bzw. deren Norm) irgendwie nach oben abschätzen kann, sodass sie unabhängig von t, y wird...

01.04.2010, 11:57

ghuji

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Nachtrag: Eindeutigkeit
Wir haben Eindeutigkeit folgendermaßen definiert (tut mir Leid, dass es so spät kommt):

$\begin{eqnarray*} R = \left\{(t,y); |t-t_0|\leq a, |y-y_0|\leq b, \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(t,y) \end{eqnarray*}$ ist stetig in Rechteck R
$\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta y} \end{eqnarray*}$ existiert und ist stetig in R

daraus folgt, es existiert ein Intervall I auf dem das Anfangswertproblem
$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} y'=f(t,y) \\ y(t_0)=y_0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$
eine eindeutige Lösung y(t) hat.

01.04.2010, 12:39

saz

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Najo, kannst dir ja nochmal meinen Post drüber durchlesen. Anscheinend hattet ihr den Satz ein wenig anders als wir, aber macht ja nichts. Auf jeden Fall musst du wie gesagt erstmal die partielle Ableitung von f bestimmen - und dann die Stetigkeit (bzw. Lipschitz-Bedingung) zeigen.

01.04.2010, 13:13

ghuji

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Zitat:

Original von saz
Wie gesagt kann man hier den Mittelwertsatz anwenden:

$\begin{eqnarray*} |f(t,y_1) - f(t,y_2)| \leq \left\| \frac{\partial f(t,y)}{\partial y} \right\| \cdot |y_1 - y_2| \end{eqnarray*}$

Also kannst du ja zunächst mal die obige partielle Ableitung berechnen und versuchen zu schauen, ob man diese Ableitung (bzw. deren Norm) irgendwie nach oben abschätzen kann, sodass sie unabhängig von t, y wird...

$\begin{eqnarray*} \left\| \frac{\partial f(t,y)}{\partial y} \right\| = \left\| \frac{\partial }{\partial y} \left(\ \frac{y}{t} + \sqrt{1 + \left( \frac{y}{t} \right)^2} \right)\right\| = \left\| \frac{1}{t} + \frac{y}{t^2 \sqrt{1+ \left(\frac{1}{t^2} \right) }} \right\| \end{eqnarray*}$

Wie ist denn Norm definiert?

Für große t geht die partielle Ableitung von f(t,y) gegen Null. Naja, ich weiß aber nicht, wie ich das Verhalten von y im Zähler hinteren Terms deuten soll.

01.04.2010, 15:47

saz

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In dem Fall ist es einfach der "normale" Betrag. Du hast übrigens im zweiten Teil der Ableitung das y in der Wurzel unten vergessen ...

Wie auch immer: Was für Schlussfolgerung würdest du denn zunächst für den Wertebereich von t ziehen (damit man zunächst eine Abschätzung unabhängig von t bekommt)? Mal ein paar Vorschläge für dich:

$\begin{eqnarray*} t \in [-\infty,\infty] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t \in [0,\infty] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t \in [c,\infty] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$
...?

01.04.2010, 17:36

ghuji

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Zitat:

Original von saz

$\begin{eqnarray*} t \in [-\infty,\infty] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t \in [0,\infty] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t \in [c,\infty] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$
...?

ich würde erst mal sagen:

$\begin{eqnarray*} t \in [c,\infty] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ , da bei $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$ die partielle Ableitung von f nach y nicht definiert ist.

Da das Intervall zusammenhängend sein muss vermute ich, dass es zwei Möglichkeiten gibt:

$\begin{eqnarray*} t \in [c,\infty] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t \in [c,\infty] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c < 0 \end{eqnarray*}$

Aber ich verstehe nicht, wie ich damit L bestimmen kann. Vielleicht durch Betrachtung der gesamten Ungleichung für t gegen die Intervall-Grenzen, also 0 und $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ bzw. 0 und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ?

01.04.2010, 17:48

saz

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Naja, dein Anfangswertproblem möchtest du ja für $\begin{eqnarray*} t = 1 \end{eqnarray*}$ lösen, also sollte man wohl $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ betrachten. Wichtig ist nur, dass du nicht $\begin{eqnarray*} t \in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ betrachtest, sondern wirklich $\begin{eqnarray*} t \in [c,\infty] \end{eqnarray*}$ (der Unterschied sollte dir bewusst sein).

Was dir das hilft? Du kannst es einfach erstmal weiter abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{t} + \frac{y}{t^2 \cdot \sqrt{1+ \left( \frac{y}{t} \right)^2}} \right| \leq \left| \frac{1}{t} \right| + \left| \frac{y}{t^2 \cdot \sqrt{1+ \left( \frac{y}{t} \right)^2}} \right| \leq \frac{1}{c} + \left| \frac{y}{c^2 \cdot \sqrt{1+ \left( \frac{y}{c} \right)^2}} \right| \end{eqnarray*}$

also hängt die Norm jetzt nur noch von y ab. (In dem Fall (da man ja immer durch t dividiert) reicht es eben eine untere Grenze für t zu haben.)

Edit: Um das ganze zu vollenden (also eine Abschätzung unabhängig von y zu erhalten) könnte man zB den Satz vom Maximum anwenden. Hast du da selbst eine Idee wie?

04.04.2010, 13:00

ghuji

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Roter Faden
Ich versuche es mal:

Satz vom Minimum und Maximum
Ist $\begin{eqnarray*} f\colon[a,b]\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig, so gibt es Stellen $\begin{eqnarray*} t,h\in[a,b] \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} f(t)\leq f(x) \leq f(h)~~\forall~x\in[a,b] \end{eqnarray*}$

Bezogen auf meine D.gl.
$\begin{eqnarray*} f\colon[c,\infty]\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig, also gibt es Stellen $\begin{eqnarray*} t,h\in[c,\infty] \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} f(t)\leq f(x) \leq f(h)~~\forall~x\in[c,\infty] \end{eqnarray*}$

ich habe aber total den Faden verloren. Vielleicht brauche ich noch mal eine Zusammenfassung:

Ich möchte zeigen, dass meine D.gl. eine eindeutige Lösung hat.
Erstmal berechne ich die Lösung (Ist das überhaupt notwendig bzw. sinnvoll?)
Ich habe eine Fallunterscheidung und bis jetzt nur t>0 betrachtet? Ist das ausreichend, oder muss ich noch t=0 und t<0 betrachten?
ich muss zeigen, dass f(t,y) stetig ist und partiell nach y ableitbar ist?
ich muss zeigen das ein L>0 existiert, so dass sie Lipschitz-Bedningung erfüllt ist?
Zum Abschätzen von L kann ich z.B. die Norm der partiellen Ableitung nach y berechnen, wobei ich diese unabhängig von t und y bekommen soll? (z.B. durch Eingrenzen des Wertebereichs von t und Anwendung des Extremwertsatz für y? )

Habe ich das bis jetzt richtig verstanden?

PS:
Ich fühle mich jetzt wirklich dumm. Zur Erklärung: ich bin ein Biologe mit viel Interesse an Mathematik, da ich biologische und chemische Vorgänge modellieren möchte. Aber das macht für mich nur Sinn, wenn ich die Mathematik hinter den Modellen verstehe. Leider fehlt mir dafür ein Menge Hintergrundwissen.

LG,
Curel

04.04.2010, 17:23

saz

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Ja, soweit ist der Satz richtig. Allerdings ist ja y deine "Variable" und nicht t, also ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [c,\infty] \end{eqnarray*}$ unpassend (weil es ja der Wertebereich für t ist). Du betrachtest einfach ein beschränktes Intervall $\begin{eqnarray*} [-R,R] \end{eqnarray*}$ und damit weißt du dann, dass f beschränkt ist, also die Lipschitz-Konstante endlich ist.

Und zu deiner Zusammenfassung: Eigentlich macht man es so:
1. Prüfung der Existenz einer Lösung
2. Prüfung der Eindeutigkeit einer Lösung, Ermittlung des Intervalls auf dem diese eindeutige Lösung ggf. existiert
3. Jetzt kannst du die Lösung berechnen (auf dem erhalteten Intervall). In dem obigen Fall betrachtest du ja ein Intervall $\begin{eqnarray*} [c,\infty] \end{eqnarray*}$ als Wertebereich für t, also brauchst du auch nur $\begin{eqnarray*} t> 0 \end{eqnarray*}$ bei der Ermittlung der Lösung zu berechnen.

zu 2.

- Du musst die Lipschitz-Bedingung zeigen und das L ermitteln. Das kannst du eben z.B. über den Mittelwertsatz (partielle Ableitung nach y) machen und wie oben versuchen diese Norm der Ableitung (die da auftaucht) dann so abzuschätzen, dass sie von t und y unabhängig ist (weil das L ja für alle t,y gelten soll). Meistens ist es hierzu notwendig, dass man irgendwelche beschränkten Intervalle betrachtet - in den seltensten Fällen gibt es eindeutige Lösungen im gesamten Intervall. Hierbei musst du natürlich auch immer dein Anfangswertproblem im Blick haben: Nämlich an welcher Stelle soll denn das Anfangswertproblem gelöst werden...

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