P[A(i)]=1 (=) P[Schnitt aller A(i)=1] - Hilfe beim Beweis

31.03.2010, 20:58

Peter71

P[A(i)]=1 (=) P[Schnitt aller A(i)=1] - Hilfe beim Beweis

Meine Frage:
Hallo, ich soll in den Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie folgenden Beweis erbringen. Gegeben ist lediglich:

Sei P[A(i)]=1 für alle i, dann gilt auch P[Schnitt aller A(i)]=1

Meine Ideen:
Das eigentlich Problem das ich habe ist, dass die Aussage für mich dermaßen trivial zu sein scheint, dass ich nicht wirklich weiß, wie ich es sinnvoll beweisen soll (irgendeinen Haken muss es doch irgendwie dran geben).. irgendwie scheine ich auch zu simpel zu denken..denn wenn P[A(i)]=1 bedeutet das dann nicht automatisch, dass jedes A(i) eben der Grundmenge entspricht? Wie könnte sonst P[A(i)]=1 gelten..
Danke schonmal für Hilfe

31.03.2010, 22:11

papahuhn

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Nein, diese $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ müssen nicht zwangsläufig die Grundmenge sein.
Fang mal so an: $\begin{eqnarray*} 1 = P(A_i \cup A_j) = P\left((A_i \cap A_j^C) \stackrel .\cup (A_i \cap A_j) \stackrel .\cup (A_i^C \cap A_j)\right) = ... \end{eqnarray*}$

Ps: Soll die Indexmenge unendlich groß sein können?

31.03.2010, 22:28

xemle75ml

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Klar, meinen ersten Denkfehler hab ich schon selber aus der Welt geschafft, da ja beispielsweise die Menge der rationalen Zahlen auf dem Intervall [0,1] auch eine Lebesgue-Nullmenge darstellt...
Und ja, es soll sich bei der Betrachtung um den Schnitt einer unendlichen Anzahl von Mengen mit der genannten Eigenschaft handeln. Ändert das die von dir beschriebene Vorgehensweise?
(Hab mir endlich nen Account gemacht, deshalb der andere Name Augenzwinkern

31.03.2010, 22:36

papahuhn

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Ja, das ändert die Vorgehensweise. Es gibt sowieso einen eleganteren Ansatz dafür.
$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcap_{i \in \mathbb I}~A_i\right) = P\left({{\left(\bigcap_{i \in \mathbb I}~A_i\right)}^C}^C\right) = ... \end{eqnarray*}$ .

31.03.2010, 22:43

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Zitat:

Original von Peter71
Sei P[A(i)]=1 für alle i, dann gilt auch P[Schnitt aller A(i)]=1

Hier fehlt die wesentliche Voraussetzung, dass das nur für Durchschnitte von höchstens abzählbar vielen Mengen gilt!

Der Beweis geht leicht über die Sigma-Additivität der Wahrscheinlichkeiten der Komplementärereignisse.

P.S.: Gegenbeispiel für überabzählbar viele $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ :

Grundraum $\begin{eqnarray*} \Omega=[0,1] \end{eqnarray*}$ und als $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ das Lebesguemaß sowie $\begin{eqnarray*} A_i := [0,1] \setminus \{i\} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} P(A_i)=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\Omega \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap\limits_{i\in\Omega} A_i \right) = P(\emptyset) = 0 \end{eqnarray*}$ .

31.03.2010, 23:08

xemle75ml

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Vielen Dank an euch beide. Mit dem Ansatz war die Aufgabe ja ziemlich fix zu lösen smile

Danke auch für das Gegenbeispiel als Denkanstoß.

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