Term Vereinfachen (Potenzen potenzieren etc.)

31.03.2010, 21:14

kanikani

Term Vereinfachen (Potenzen potenzieren etc.)

Hallo zusammen! Wink

Ich hab hier einen Term gegeben den ich vereinfachen soll:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}} )^{\sqrt{6}} \end{eqnarray*}$

Als Musterlösung ist das hier angegeben:

$\begin{eqnarray*} 3^{\sqrt{3} + \sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

Was ich bisher versucht habe:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}} )^{\sqrt{6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (3^{(\frac{1}{2}^{(2^{\frac{1}{2} } )} )} \cdot 3^{(\frac{3}{2}^{(3^{\frac{1}{2} } )} )})^{(6^{\frac{1}{2}} )} \end{eqnarray*}$
(ist das hier überhaupt soweit richtig???)

$\begin{eqnarray*} = (3^{(\frac{1}{2}^{(2^{\frac{1}{2} } )} ) + (\frac{3}{2}^{(3^{\frac{1}{2} } )} )})^{(6^{\frac{1}{2}} )} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3^{(6^{\frac{1}{2}} )((\frac{1}{2}^{(2^{\frac{1}{2} } )} ) + (\frac{3}{2}^{(3^{\frac{1}{2} } )} ))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3^{6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}^{(2^{\frac{1}{2} }) } ) + 6^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2}^{(3^{\frac{1}{2} } )} ))} \end{eqnarray*}$

Wie mach ich jetzt weiter? Hab ich bis dahin überhaupt richtig gerechnet? Kann mir jemand ein bisschen Klarheit bei Potenztürmen geben? Habe schon das hier gelesen http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm. Was mir immernoch nicht ganz klar ist:

$\begin{eqnarray*} (x^{n})^{m} = (x^{n\cdot m}) \end{eqnarray*}$

Wie oft darf man diese Regel anwenden?
Wann darf man sie nicht anwenden? verwirrt

Darf man diese regel auch hier anwenden? Nein oder?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}^{\sqrt{2}} = 3^{(\frac{1}{2}^{(2^{\frac{1}{2} } )} )} \neq (3^{\frac{1}{2}})^{(2^{\frac{1}{2} } )} \end{eqnarray*}$
(Laut dem Potenzturm-Aufbau)

$\begin{eqnarray*} 3^{(\frac{1}{2}^{(2^{\frac{1}{2} } )} )} = ? \end{eqnarray*}$
(Hier diese Regel??)

Würde mich über Hilfe sehr freuen smile

31.03.2010, 21:51

sulo

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RE: Term Vereinfachen (Potenzen potenzieren etc.)

Zitat:

Original von kanikani
Darf man diese regel auch hier anwenden? Nein oder?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}^{\sqrt{2}} = 3^{(\frac{1}{2}^{(2^{\frac{1}{2} } )} )} \neq (3^{\frac{1}{2}})^{(2^{\frac{1}{2} } )} \end{eqnarray*}$

Hmm, es ist genau andersherum:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}^{\sqrt{2}} = (3^{\frac{1}{2}})^{(2^{\frac{1}{2} } )} \neq 3^{(\frac{1}{2}^{(2^{\frac{1}{2} } )} )} \end{eqnarray*}$

31.03.2010, 23:54

corvus

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RE: Term Vereinfachen (Potenzen potenzieren etc.)

Zitat:

versucht habe:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{3}^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}} )^{\sqrt{6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (3^{(\frac{1}{2}^{(2^{\frac{1}{2} } )} )} \cdot 3^{(\frac{3}{2}^{(3^{\frac{1}{2} } )} )})^{(6^{\frac{1}{2}} )} \end{eqnarray*}$ unglücklich

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}^{\sqrt{2}} = (3^{\frac{ 1 }{2}})^{\sqrt{2}} = 3^{\frac{ \sqrt{2} }{2}} = 3^{\frac{1}{ \sqrt{2} }} \end{eqnarray*}$

mach nun die entsprechende Rechnung für $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3}^{\sqrt{3}} = (3^{\frac{ 1 }{3}})^{\sqrt{3}} = ... \end{eqnarray*}$

und überlege dann, mit welchem Potenzgesetz du zB dies umformen kannst:

$\begin{eqnarray*} 3^{\frac{1}{ \sqrt{2} }} \cdot 3^{\frac{1}{ \sqrt{3} }} = ? \end{eqnarray*}$

bringe dann die Brüche im Exponenten auf den Hauptnenner sqrt(6) und addiere sie ..

..und schon bist du fast fertig mit deiner urspünglichen Aufgabe..
musst ja nur noch mit sqrt(6) potenzieren ..

ok? Wink

02.04.2010, 11:56

kanikani

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Dankeschön für die Hilfe ihr beiden smile

Konnte die Aufgabe jetzt lösen!

Hätte aber trotzdem noch ne Frage:

Nach http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration#Iterated_powers schachtelt man Potenzen von oben nach unten statt von unten nach oben. In dieser Aufgabe war das ja nicht der Fall. Lag das daran das das Wurzelzeichen stärker bindet sodass gilt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}^{\sqrt{2}} = (3^{\frac{1}{2}})^{(2^{\frac{1}{2} } )} \neq 3^{(\frac{1}{2}^{(2^{\frac{1}{2} } )} )} \end{eqnarray*}$

??? verwirrt

02.04.2010, 20:20

corvus

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Zitat:

Original von kanikani
Hätte aber trotzdem noch ne Frage:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}^{\sqrt{2}} = (3^{\frac{1}{2}})^{(2^{\frac{1}{2} } )} \neq 3^{[(\frac{1}{2})^{(2^{\frac{1}{2} } )} ]} \end{eqnarray*}$

??? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}^{\sqrt{2}} = (3^{\frac{1}{2}})^{(2^{\frac{1}{2} } )} = 3^{\frac{1}{2} \cdot {(2^{\frac{1}{2} } )}} = 3^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \end{eqnarray*}$

.. denn es gilt das altbekannte Gesetz .. Potenzen werden potenziert, indem ...
(schlag das halt irgendwo nach) :
also:

$\begin{eqnarray*} (a^m)^n = a^{m \cdot n} \end{eqnarray*}$ Freude

und nicht
$\begin{eqnarray*} (a^m)^n = a^{m^n} \end{eqnarray*}$ geschockt

alles klar soweit?

08.04.2010, 17:55

kanikani

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Ja oke dankeschön smile

soweit alles klar!

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