Konvergenz dieser Reihe

01.04.2010, 12:16

Nils001

Konvergenz dieser Reihe

Meine Frage:
Guten Tag zusammen.

Ich untersuche zur Zeit die folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n(n^{-\alpha } - (n+1)^{-\alpha }) \end{eqnarray*}$

Von Interesse ist ausschließlich der Bereich $\begin{eqnarray*} 1\leq \alpha \leq 2 \end{eqnarray*}$ !

Meine Vermutung ist, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} \alpha>1 \end{eqnarray*}$ grundsätzlich endlich ist. Interessiert bin ich aber weniger am Beweis dessen, als am Wert gegen den sie konvergiert.

Kann mir jemand helfen?

Meine Ideen:
Es ist leicht zu zeigen, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$ gegen positiv Unendlich konvergiert.

Etwas schwerer ist zu zeigen, dass sie für $\begin{eqnarray*} \alpha=2 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \pi^{2}/6 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Für den Bereich $\begin{eqnarray*} 1<\alpha<2 \end{eqnarray*}$ fehlt mir das mathematische Handwerkzeug befürchte ich.

Mögliche Ansätze sind die allgemeinen Zeta Funktionen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Zeta-Funktion

01.04.2010, 13:32

Nils001

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RE: Konvergenz dieser Reihe
Übrigens gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (n^{-\alpha } - (n+1)^{-\alpha }) = 1 \end{eqnarray*}$

Dies läßt sich leicht nachvollziehen, weil sich ohne den Faktor in der Summe alle Summanten bis auf den ersten gegenseitig eliminieren.

01.04.2010, 14:05

Mystic

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RE: Konvergenz dieser Reihe

Zitat:

Original von Nils001
Übrigens gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (n^{-\alpha } - (n+1)^{-\alpha }) = 1 \end{eqnarray*}$

Dies läßt sich leicht nachvollziehen, weil sich ohne den Faktor in der Summe alle Summanten bis auf den ersten gegenseitig eliminieren.

Übrigens gilt auch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n(n^{-\alpha } - (n+1)^{-\alpha }) = \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-\alpha } \end{eqnarray*}$

was sich ebenfalls leicht nachvollziehen läßt und damit wohl deine Frage von oben beantwortet...

01.04.2010, 14:32

Nils001

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RE: Konvergenz dieser Reihe
Und damit ist der Wert der Reihe identisch mit der Zeta Funktion von alpha. Vielen Dank !

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