Wertemenge bei quadratischer Funktion

Neue Frage »

24.10.2006, 13:54	N3M0	Auf diesen Beitrag antworten »
Wertemenge bei quadratischer Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^2-4x+4 \end{eqnarray}$ wie gibt man hier die wertemenge an, wenn D = R sein soll?
24.10.2006, 13:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wertemenge bei quadratischer Funktion Na was weiß man denn Über diese Art von Funktionen? Wie sehen quadratische Funktionen aus? Stichworte: Parabel, quadratische Ergänzung
24.10.2006, 13:58	N3M0	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß ehrlich gesagt gerade mal wie man das ding einzeichnet und den scheitelpunkt berechnet^^
24.10.2006, 14:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wir suchen eine Andere Darstellung von f. Und aus der wollen wir folgende Informationen ablesen: - Wo ist der Scheitel von f - Wierum ist die PArabel geöffnet Dazu geht man wie folgt vor: Quadratische Ergänzung (bitte mal irgendwo nachgoogeln). Hier besonders einfach, da ... binomische Formel!: $\begin{eqnarray} f(x) =x^{2} -4x+4 = x^{2}-2 \cdot 2x + 2^{2} = (x-2)^{2} \end{eqnarray}$ Was weist Du jetzt über die Funktion?
24.10.2006, 14:05	N3M0	Auf diesen Beitrag antworten »
das sie nach oben geöffnet ist und den scheitel $\begin{eqnarray} S(2/0) \end{eqnarray}$ , wie drücke ich das dann mathematisch aus.
24.10.2006, 14:16	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zunächst mal zur Wertemenge, also was gilt für f(x) $\begin{eqnarray} (x-2)^{2} =(x-2)(x-2)= 0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt, doppelte Nullstelle bei x = 2. Ansonten gilt wegen dem Quadrat offensichtlich: $\begin{eqnarray} (x-2)^{2} > 0 \end{eqnarray}$ Also ist die Wertemenge : $\begin{eqnarray} W = \mathbb R^{+}_{0} \end{eqnarray}$ Was zeichnet denn den Scheitel der Parabel aus? Extremwert. Hier also ein Minimum. Das zeigt sich darin, dass: $\begin{eqnarray} f(x)= +(x-2)^{2} \end{eqnarray}$ Bei der Funktion g: $\begin{eqnarray} g(x)= -(x-2)^{2} \end{eqnarray}$ läge der Scheitel auch in (2/0), die Parabel wäre aber nach unten offen.
Anzeige

24.10.2006, 14:44	N3M0	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn $\begin{eqnarray} ax^2 \end{eqnarray}$ positiv ist bzw. $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R^+ \end{eqnarray}$ ist, istdie wertemenge $\begin{eqnarray} W = \mathbb R^{+}_{0} \end{eqnarray}$ (nach oben geöffnet) und wenn $\begin{eqnarray} ax^2 \end{eqnarray}$ negativ ist bzw $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R^- \end{eqnarray}$ , ist sie $\begin{eqnarray} W = \mathbb R^{-}_{0} \end{eqnarray}$ (nach unten geöffnet)?
24.10.2006, 15:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gehen wir es mal zusammen durch. Allgemein sieht eine quadratische Funktion wie folgt aus: $\begin{eqnarray} f(x)=ax^{2}+bx+c \end{eqnarray}$ Nun wenden wir die quadratische Ergänzung an. D.h. wir basteln uns eine binomische Formel: $\begin{eqnarray} f(x)=a \cdot (x^{2}+\frac{b}{a}x)+c=a \cdot (x^{2}+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2})+c= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =a \cdot (x^{2}+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^{2})-a(\frac{b}{2a})^{2}+c=a(x+\frac{b}{2a})^{2}+d \end{eqnarray}$ Warum nun dieser ganze Aufwand? Weil wir folgende Informationen erhalten: $\begin{eqnarray} S(-\frac{b}{2a},d) \end{eqnarray}$ Für a < 0 liegt eine nach unten geöffnete und für a > 0 eine nach oben geöffnete Parabel vor. Dass a ungleich 0 ist, dürfte sich von selbst verstehen, sonst hätten wir keine quadratische Funktion. Die Wertemengen sind dann [-oo,d] oder [d, + oo] Die Nullstellen von f bestimmt man dann über die abc-Formel (Mitternachtsformel) oder wie auch immer ihr die nennt. Gruß, tigerbine
24.10.2006, 15:14	N3M0	Auf diesen Beitrag antworten »
hier haben wir ja aber nur $\begin{eqnarray} (x-2)^2 \end{eqnarray}$ was wäre dann d?
24.10.2006, 15:16	babelfish	Auf diesen Beitrag antworten »
was vermutest du denn?
24.10.2006, 15:18	N3M0	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hatte ja null vermutet, aber das ist wohl nicht richtig.
24.10.2006, 15:25	babelfish	Auf diesen Beitrag antworten »
warum soll das nicht richtig sein? dein scheitelpunkt liegt bei 2/0, also ist d=0!
24.10.2006, 15:35	N3M0	Auf diesen Beitrag antworten »
ja es hies ja das die parabel nach unten geöffnet wäre, aber der funktionsplotter zeigt an das sie nach oben geöffnet ist. hab ich was falsch eingegeben?
24.10.2006, 15:39	babelfish	Auf diesen Beitrag antworten »
nein nein, das ist schon alles so richtig! tigerbine hat nur den theoretischen fall durchgespielt, wie es wäre, wenn deine funktion $\begin{eqnarray} g(x)= - (x-2)^2 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} f(x)=(x-2)^2 \end{eqnarray}$ lauten würde! also zusammenfassend: dein a (nämlich die "+1" vor deiner klammer) ist positiv, was bedeutet, dass deine parabel nach oben geöffnet ist. dein scheitelpunkt liegt bei 2/0, was zeigt, dass als y-werte alle werte aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ herauskommen können, die positiv oder 0 sind!!
24.10.2006, 15:40	N3M0	Auf diesen Beitrag antworten »
ok thx, den rest schaffe ich alleine.

Neue Frage »

Antworten »

Wertemenge bei quadratischer Funktion

Verwandte Themen