Repräsentative Stichprobengröße ermitteln

01.04.2010, 13:09	HolgerB	Auf diesen Beitrag antworten »
Repräsentative Stichprobengröße ermitteln Meine Frage: Hallo, ich habe ein relativ großes Probelm. Für eine Befragung einer bestimmten Personengruppe muss ich die Stichprobengröße ermitteln. Wichtig dabeit ist, dass die Befraungsergebnisse später repräsentativ sind. Sprich irgendwie muss ich einen repräsentative Stichprobengröße berechnen. Aber ich habe keine Ahnung wie das funktionieren soll. Kann mir jemand weiterhelfen???? Meine Ideen: Ich hab schon Bücher gewälzt, aber die Formeln die da zu finden sind, sind bis jetzt nicht hilfreich gewesen...
05.04.2010, 21:02	Kamel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich schreibe einfach mal meine Gedanken dazu auf. Falls etwas nicht stimmen sollte, bitte korrigieren! Sei $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein Befragter für Möglichkeit n entscheidet. Du suchst nun $\begin{eqnarray} P(-\alpha \leq \xi_n - p_n \leq \alpha) \geq \rho \end{eqnarray}$ D.h., die aus der Umfrage ermittelte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \xi_n \end{eqnarray}$ , sich für Möglichkeit n zu entscheiden, soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ um höchstens $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ vom wahren Wert $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ abweichen. Da die Umfrageergebnisse binomialverteilt sein werden, können wir $\begin{eqnarray} \frac{S_{n,k}}{k} \end{eqnarray}$ als Schätzer für $\begin{eqnarray} \xi_n \end{eqnarray}$ nehmen (also einfach die relative Häufigkeit bei k Stichproben). Zusätzlich normieren wir noch unsere Zufallsvariable $\begin{eqnarray} S_{n,k} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \frac{S_{n,k} - E(S_{n,k})}{\sigma_n} = \frac{S_{n,k} - Np_n}{\sqrt{Np_n(1-p_n)}} := \tilde{S}_{n,k} \end{eqnarray}$ , wobei natürlich N die Grundgesamtheit darstellt (z.B. die Einwohnerzahl einer Stadt, etc.). Dann gilt nämlich nach dem Satz von Moivre-Laplace (also im Grunde nach dem zentralen Grenzwertsatz): $\begin{eqnarray} P \left( \frac{-k \alpha}{\sigma_n} \leq \tilde{S}_{n,k} \leq \frac{k \alpha}{\sigma_n} \right) = \Phi \left( \frac{k \alpha}{\sigma_n} \right) - \Phi \left( \frac{-k \alpha}{\sigma_n} \right) = -1 + 2 \cdot \Phi \left( \frac{k \alpha}{\sigma_n} \right) \geq \rho \end{eqnarray}$ Jetzt hat man nur noch das Problem, daß man $\begin{eqnarray} \sigma_n \end{eqnarray}$ vorher nicht kennt. Da aber gilt $\begin{eqnarray} \sigma_n = \sqrt{Np_n(1-p_n)} \end{eqnarray}$ kann man ja das $\begin{eqnarray} p_n(1-p_n) \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen (nämlich mit $\begin{eqnarray} p_n(1-p_n) \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ ) und so vom ungünstigsten Fall ausgehen. Damit kann man nun über die Quantilfunktion die erforderliche Stichprobengröße $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ bestimmen. Wie man aber konkret "repräsentativ" definiert, hängt wohl von der konkreten Umfrage ab. Vielleicht gibt es da auch Faustformeln in der Praxis - die kenne ich aber nicht. Ich würde aus dem Bauch heraus irgendetwas um $\begin{eqnarray} \rho \geq 0,95 \end{eqnarray}$ und vielleicht $\begin{eqnarray} \alpha \leq 0,05 \end{eqnarray}$ . Das ist aber nur geraten. Ps.: Falls das eleganter/schneller geht, würde mich das auch interessieren.

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