länge von parabelabschnitt

24.10.2006, 16:28

odwart

länge von parabelabschnitt

hallo,
ich soll hier eine aufgabe lösen, aber mit fällt absolut kein lösungsansatz ein.
bstimmen sie die länge des parabelabschnittes y = x² für 0<=x und x<=1 . Sie können dabei folgendene beziehungen nutzen.

integral wurzel aus 1+x² dx = 1/2 [arsinh(x) + x * wurzel aus 1+x²]
und
arsinh(x) = ln(x + wurzel aus x²+1)

überprüfen sie ergebnis, indem sie eine geometrische überlegung tätigen, und eine oberer und untere schranke für die länge angeben.

besten dank
odwart

24.10.2006, 16:43

riwe

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RE: länge von parabelabschnitt
da brauchst du doch nur in das integral für die bogenlänge einzusetzen mit u = 2x.
$\begin{eqnarray*} b=\int_{b}^{a}~\sqrt{1+(f^\prime(x))^{2}}~dx \end{eqnarray*}$
und wie leicht zu sehen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} <b<2 \end{eqnarray*}$
werner

edit: formel korrigiert

24.10.2006, 17:01

odwart

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ok wenn ich diesen ansatz weiterfolge und f'(x) in die bogenlängeformel einsetze, anschliessend integriere mithilfe der substitution erhalte ich

b = 2/3 wurzel aus (1+2x)³ ob. gr. 1 ;un.gr. 0

ausgerechnet = 2,7974

ist das richtig??

greets

24.10.2006, 17:20

riwe

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ich erhalte etwas anderes, aber wer weiß verwirrt

$\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}ln(2+\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$
kannst ja dein integral und das zeug hier reinstellen Big Laugh

werner

24.10.2006, 17:24

odwart

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x² , f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<=x ; x < =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = \int_{0}^{1}~\sqrt{1+f'(x)} ~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{1}~(1+2x)^{1/2} ~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} substitution \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = (1+2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u^{1/2}~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2/3 u^{3/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} so dass \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2/3 \sqrt{(1+2x)^{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} obere grenze 1, untere grenze 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2/3 * \sqrt{27} - 2/3 = 2,7974 \end{eqnarray*}$

sorry komme mit dem editor noch nicht ganz klar

24.10.2006, 17:33

riwe

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Zitat:

Original von odwart
$\begin{eqnarray*} integral x² \end{eqnarray*}$

und was soll das sein? verwirrt

werner

24.10.2006, 17:42

odwart

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wie geht der zeilenumbruch???? ok schon gut habs ja....

thx

24.10.2006, 18:01

riwe

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ach so ein mist, da hatte ich bei der formel für die bogenlänge das quadrat vergessen,
das hätte dir eigentlich auffallen sollen, wegen derangegebenen lösung von I(1 + x²)! verwirrt

$\begin{eqnarray*} b=\int_{b}^{a}~\sqrt{1+(f^\prime(x))^{2}}~dx \end{eqnarray*}$
also von vorne!
und die substitution ist 2x = u NICHT 1 + 2x = u
werner

24.10.2006, 18:13

odwart

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x² , f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<=x ; x < =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = \int_{0}^{1}~\sqrt{1+(f'(x))²} ~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{0}^{1}~(1+(2x)²)^{1/2} ~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} substitution \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = (1+4x²) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~u^{1/2}~du \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2/3 u^{3/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} so dass \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2/3 \sqrt{(1+4x²)^{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} obere grenze 1, untere grenze 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2/3 * \sqrt{125} - 2/3 = 6,78 \end{eqnarray*}$

scheint mir aber auch nicht richtig zu sein , die länge ist doch viel zu gross.......

24.10.2006, 18:47

riwe

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RE: länge von parabelabschnitt

Zitat:

Original von odwart
Sie können dabei folgendene beziehungen nutzen.

integral wurzel aus 1+x² dx = 1/2 [arsinh(x) + x * wurzel aus 1+x²]
und
arsinh(x) = ln(x + wurzel aus x²+1)
odwart

wozu denkst DU, dass DU das hier reingeschrieben hast? verwirrt

noch einmal, BITTE BITTE, substituiere 2x = u
und dann lies, was DU da oben geschrieben hast.
bei deiner substitution verletzt du doch elementare regeln Big Laugh

$\begin{eqnarray*} u = (1+4x^{2}) \to du = 8x \cdot dx \end{eqnarray*}$
und das scheint nicht sehr hilfreich unglücklich

werner

24.10.2006, 18:52

odwart

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RE: länge von parabelabschnitt
jo na dann sthet die lösung des integrals ja schon in der aufgabenstellung theoretisch??

ick mach das dann nochmal...

24.10.2006, 18:59

riwe

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RE: länge von parabelabschnitt

Zitat:

Original von odwart
jo na dann sthet die lösung des integrals ja schon in der aufgabenstellung theoretisch??

ick mach das dann nochmal...

genau so ist es Freude

werner

24.10.2006, 19:24

odwart

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Habs nochmal gemacht bekomme jetzt
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} [ln(2+\sqrt{5})+2* \sqrt{5}] \end{eqnarray*}$
raus

jetzt haperts noch an der interpretation

greets

24.10.2006, 19:35

riwe

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da fehlt noch ein faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , vermutlich resultierend aus u = 2x => du = 2 dx!
und die gretchenfrage: was ist länger und was kürzer als das bögelein verwirrt

wie gesagt. eine skizze wäre hilfreich
werner

24.10.2006, 19:45

odwart

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$\begin{eqnarray*} b=\int_{0}^{1}~\sqrt{(1+(2x)²} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x = u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} [arcsinh(u) + u \sqrt{1+u²}] grenze 0/1 \end{eqnarray*}$

umgeformt und rüchsubs

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} [ln (2x + \sqrt{4x²+1}) + 2x \sqrt{1+4x²}] \end{eqnarray*}$
grenzen ein setzten obere - untere ( wobei der term für die untere grenze meines erachtens komplett 0 wird)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} [ln(2 + \sqrt{5}) + 2*\sqrt{5}] \end{eqnarray*}$

24.10.2006, 20:47

riwe

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Zitat:

Original von odwart
$\begin{eqnarray*} b=\int_{0}^{1}~\sqrt{(1+(2x)²} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x = u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} [arcsinh(u) + u \sqrt{1+u²}] grenze 0/1 \end{eqnarray*}$

umgeformt und rüchsubs

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} [ln (2x + \sqrt{4x²+1}) + 2x \sqrt{1+4x²}] \end{eqnarray*}$
grenzen ein setzten obere - untere ( wobei der term für die untere grenze meines erachtens komplett 0 wird)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} [ln(2 + \sqrt{5}) + 2*\sqrt{5}] \end{eqnarray*}$

(da sind die grenzen falsch u= 2x = 1 => u =?, was aber nix macht, da du vorher "rücksubstituierst",)
aber es fehlt wegen u = 2x der faktot 0.5 vor dem integral!
$\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{2}\int_{b}^{a}~\sqrt{1+u^{2}}~du \end{eqnarray*}$
und was ist mit der geometrischen abschätzung?
werner

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