Aussagen über Grenzwerte

01.04.2010, 15:11

BErnhArd_P

Aussagen über Grenzwerte

Hallo, wir haben eine Lehrveranstaltung, in der wir lernen mathematische Texte zu verfassen und zu präsentieren. Ich habe die unten stehende Aufgabe bekommen, jedoch hab ich zur Zeit einige Probleme damit... .

Die Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (t_n) \end{eqnarray*}$ Folgen, sodass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}{| t_k |} \end{eqnarray*}$ konvergiert der Limes und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty }{\frac{\sum_{k=1}^{n}{s_k \cdot t_k}}{s_n}} \end{eqnarray*}$ existiert und nicht Null ist, dann existiert auch der Limes $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}{s_n} \end{eqnarray*}$ und ist nicht Null.

Ich hab bisher nichts Erwähnendswertes zusammengebracht. Beispielsweise weiß ich nicht, wie ich die absolute Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}{| t_k |} \end{eqnarray*}$ einbauen kann, oder wie ich überhaupt auf eine Aussage über den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}{s_n} \end{eqnarray*}$ komme, da der ja nur sehr verschachtelt in der zweiten Summe auftritt und ich ja sonst überhaupt nichts über ihn weiß... . Daher wäre ich wirklich dankbar für einen Ansatz

MfG

03.04.2010, 10:21

BErnhArd_P

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einmal nach oben mit dem Thread, vlt. fällt jemandem noch was dazu ein. Augenzwinkern

MfG

03.04.2010, 12:10

gonnabphd

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Ich kann dir zwar die Lösung nicht verraten (da ich sie selbst nicht weiss), aber vielleicht könntest du ja mal zeigen, dass $\begin{eqnarray*} s_n \nrightarrow \infty \end{eqnarray*}$ , da sonst

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty }{\frac{\sum_{k=1}^{n}{s_k \cdot t_k}}{s_n}} = 0 \end{eqnarray*}$

wäre. Beachte dabei, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=N+1}^{\infty} |t_k| < \epsilon \end{eqnarray*}$

ist.

Viel mehr habe ich bisher leider auch noch nicht über die Reihe rausgefunden... Naja, ich werd's mir noch ein bisschen durch den Kopf gehen lassen und geb dann mal Bescheid.

03.04.2010, 12:28

gonnabphd

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Ja, und weiter gehts: Wenn $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge wäre, würde dein Ausdruck divergieren. Beachte dazu, dass in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \sum s_kt_k \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Wenn man jetzt noch zeigen würde, dass $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ konvergieren muss, damit

$\begin{eqnarray*} {\frac{\sum_{k=1}^{n}{s_k \cdot t_k}}{s_n}} \end{eqnarray*}$

konvergieren kann, dann wäre man ja auch schon fertig.

03.04.2010, 12:44

gonnabphd

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Ja, klar.

Da nach meinem ersten Posting ja $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ sicher beschränkt sein muss (z.B. $\begin{eqnarray*} |s_n| \leq M \end{eqnarray*}$ ) , ist

$\begin{eqnarray*} \sum |s_kt_k| \leq M \cdot \sum |t_k| \end{eqnarray*}$

also absolut konvergent.
Daraus kannst du nun folgern, dass $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ konvergieren muss.

Somit haben wir gezeigt (bzw. werden wir gezeigt haben):

a) $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ ist nicht divergent (gegen Unendlich)
b) $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ ist keine Nullfolge.
c) $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ ist konvergent.

Und das war ja auch schon alles. Wink

03.04.2010, 15:11

BErnhArd_P

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Vielen Dank!

Das waren genau die Ansätze die ich brauchte! Ich werd das mal ordentlich zusammenschreiben und dann einmal hier meine Lösung reinstellen, kann aber ein paar Tage dauern, da grad Ostern ist Augenzwinkern

Schöne Ostern

BErnhArd_P

03.04.2010, 15:36

gonnabphd

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Kein Problem.

Bei a) war der Tipp vielleicht ein bisschen knapp... Falls du's da nicht rausfindest, rück' ich auch noch mit ein paar Infos mehr raus. Augenzwinkern

Ansonsten viel Spass. Wink

03.04.2010, 18:21

BErnhArd_P

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So, ging doch schneller als ich dachte, mal schaun obs auch stimmt Augenzwinkern

.

Annahme: $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty}{s_n} \end{eqnarray*}$ =0.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists K \in \mathbb R : \forall n \in \mathbb N : (s_n) < K \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ beschränkt.
Das führt auf die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}{s_k \cdot t_k} \le K \cdot \sum_{k=1}^{n}{t_k} \le K \cdot \sum_{k=1}^{n}{|t_k|} \end{eqnarray*}$ ,
mit dem Majorantenkriterium ist somit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty }{s_k \cdot t_k} \end{eqnarray*}$ konvergent und daher auch beschränkt. Daraus folgt dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty }{\frac{\sum_{k=1}^{\infty }{s_k \cdot t_k}}{s_n}} = \infty \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

Annahme: $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty}{s_n}= \infty \end{eqnarray*}$ .
Definiere: $\begin{eqnarray*} s_{max_n} := max\{s_1, \ldots , s_n\} \end{eqnarray*}$
Aus der absoluten Konvergenz der ersten Reihe folgt: $\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb N : \forall n > \mathbb N: \sum_{k=N+1}^{\infty}{t_k} < \epsilon \end{eqnarray*}$ , wegen
$\begin{eqnarray*} s_{max_n} \ge s_k \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt auch
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n} \le \sum_{k=1}^{n}{t_k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{N }{s_k \cdot t_k}}{s_n}}}_{=0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=N+1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}}}_{< \epsilon} = 0 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

Das heißt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}{(s_n)} \end{eqnarray*}$ ist nicht unbeschänkt und nicht Null.
Aus dem Majorantenkriterium folgt wegen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{k=1}^{n}{|s_k||t_k|}} \le \underbrace{\lim_K \cdot \sum_{k=1}^{n}{|t_k|}}_{konvergent} \end{eqnarray*}$ ,
dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}{|s_k \cdot t_k|} \end{eqnarray*}$ konvergiert, also auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}{s_k \cdot t_k} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}} =: s \not = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{s_n} \not = 0 \end{eqnarray*}$ .

Daher existiert der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ und ist nicht Null.
Freue mich über Feedback

MfG

04.04.2010, 20:34

gonnabphd

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Zitat:

Annahme: $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty}{s_n} \end{eqnarray*}$ =0.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists K \in \mathbb R : \forall n \in \mathbb N : (s_n) < K \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ beschränkt.
Das führt auf die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}{s_k \cdot t_k} \le K \cdot \sum_{k=1}^{n}{t_k} \le K \cdot \sum_{k=1}^{n}{|t_k|} \end{eqnarray*}$ ,
mit dem Majorantenkriterium ist somit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty }{s_k \cdot t_k} \end{eqnarray*}$ konvergent und daher auch beschränkt. Daraus folgt dann
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty }{\frac{\sum_{k=1}^{\infty }{s_k \cdot t_k}}{s_n}} = \infty \end{eqnarray*}$ . Widerspruch. Hier, könntest du noch ein bisschen besser argumentieren... (z.B. was ist wenn die Summe oben auch gegen Null geht? Wäre es dann nicht möglich, dass das Ganze konvergiert?)

Annahme: $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty}{s_n}= \infty \end{eqnarray*}$ .
Definiere: $\begin{eqnarray*} s_{max_n} := max\{s_1, \ldots , s_n\} \end{eqnarray*}$
Aus der absoluten Konvergenz der ersten Reihe folgt: $\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb N : \forall n > \mathbb N: \sum_{k=N+1}^{\infty}{t_k} < \epsilon \end{eqnarray*}$ , wegen
$\begin{eqnarray*} s_{max_n} \ge s_k \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt auch
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n} \le \sum_{k=1}^{n}{t_k} \end{eqnarray*}$ Das ist im Allgemeinen falsch. Aber es gibt zumindest immer wieder solche n für die das wahr ist...
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{N }{s_k \cdot t_k}}{s_n}}}_{=0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=N+1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}}}_{< \epsilon} = 0 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch. Von der Idee her ist es richtig. Siehe unten im Beispiel...

Das heißt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}{(s_n)} \end{eqnarray*}$ ist nicht unbeschänkt und nicht Null.
Aus dem Majorantenkriterium folgt wegen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{k=1}^{n}{|s_k||t_k|}} \le \underbrace{\lim_K \cdot \sum_{k=1}^{n}{|t_k|}}_{konvergent} \end{eqnarray*}$ ,
dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}{|s_k \cdot t_k|} \end{eqnarray*}$ konvergiert, also auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}{s_k \cdot t_k} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}} =: s \not = 0 \end{eqnarray*}$ Das hier ist Betrug: du hast bisher nicht gezeigt, dass das Linke konvergiert. Dann kannst du das auch nicht als s definieren. Zeige also beispielsweise, dass wenn s_n nicht konvergiert, auch das Linke nicht konvergieren würde. Ist zwar eigentlich, nachdem was schon gezeigt wurde, fast trivial.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{s_n} \not = 0 \end{eqnarray*}$ .

Daher existiert der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ und ist nicht Null.

Allgemein benutzt du häufig den Limes, um Abschätzungen aus dem Weg zu gehen.

Z.B.:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{N }{s_k \cdot t_k}}{s_n}}}_{=0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=N+1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}}}_{< \epsilon} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt natürlich, aber ist nicht ganz so trivial, wie die Zeile vermuten lässt. z.B. argumentierst du nicht, warum der zweite Term gegen null gehen muss. Ich meine, die s_k oben gehen ja auch gegen Unendlich, wieso kann dann das ganze nicht einen Grenzwert ungleich Null annehmen?!

Solche Dinge umgeht man gerne mal indem man den Limes nimmt (oder noch schlimmer: vielleicht hast du daran gar nicht gedacht?).

Abschätzungen sind immer sauber und zeigen, dass man auch weiss was man macht.

04.04.2010, 22:26

BErnhArd_P

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Hi, danke einmal fürs Feedback!

Dieser Teil:

Zitat:

Annahme: $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty}{s_n}= \infty \end{eqnarray*}$ . Definiere: $\begin{eqnarray*} s_{max_n} := max\{s_1, \ldots , s_n\} \end{eqnarray*}$ Aus der absoluten Konvergenz der ersten Reihe folgt: $\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb N : \forall n > \mathbb N: \sum_{k=N+1}^{\infty}{t_k} < \epsilon \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} s_{max_n} \ge s_k \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n} \le \sum_{k=1}^{n}{t_k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{N }{s_k \cdot t_k}}{s_n}}}_{=0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=N+1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}}}_{< \epsilon} = 0 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

Korrektur:

Annahme: $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty}{s_n}= \infty \end{eqnarray*}$ .
Definiere: $\begin{eqnarray*} s_{max_n} := max\{s_1, \ldots , s_n\} \end{eqnarray*}$
Aus der absoluten Konvergenz der ersten Reihe folgt: $\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb N : \forall n > \mathbb N: \sum_{k=N+1}^{\infty}{t_k} < \epsilon \end{eqnarray*}$ , wegen
$\begin{eqnarray*} s_{max_n} \ge s_k \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt auch
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_{max_n}} \le \sum_{k=1}^{n}{t_k} \end{eqnarray*}$ ,
wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}{s_n} = \lim_{n \rightarrow \infty}{s_{max_n}} = \infty \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_{max_n}}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=1}^{N }{s_k \cdot t_k}}{s_n}}}_{=0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sum_{k=N+1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}}}_{< \epsilon} = 0 \end{eqnarray*}$ .
Der zweite Term geht deswegen (als der Limes auf die Reihen ab einem Bestimmten Index N+1 angewandt)
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{k=N+1}^{\infty }{s_k \cdot t_k}}{s_n} = \frac{\sum_{k=N+1}^{\infty }{s_k \cdot t_k}}{s_{max_n}} \le \sum_{k=N+1}^{\infty }{t_k} < \epsilon \end{eqnarray*}$
gegen Null.
Widerspruch.

Bei ersten Kritikpunkt von dir ("Hier, könntest du noch ein bisschen besser argumentieren... (z.B. was ist wenn die Summe oben auch gegen Null geht? Wäre es dann nicht möglich, dass das Ganze konvergiert?"), gebe ich dir Recht, etwas genauer hätte ich da argumentieren sollen. Folgt zu gegebener Zeit.

Aber deinen dritten Kritikpunkt verstehe ich ehrlich gesagt nicht so ganz... ("Das hier ist Betrug: du hast bisher nicht gezeigt, dass das Linke konvergiert. Dann kannst du das auch nicht als s definieren. Zeige also beispielsweise, dass wenn s_n nicht konvergiert, auch das Linke nicht konvergieren würde. Ist zwar eigentlich, nachdem was schon gezeigt wurde, fast trivial.")
Das "Linke" konvergiert ja laut Angabe und ist nicht Null, also irgendeine reelle Zahl s die nicht Null ist, ich sehe nicht warum ich das nicht tun dürfte. verwirrt

04.04.2010, 23:39

gonnabphd

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Naja, bis jetzt hast du gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ beschränkt ist und dass es nicht gegen Null konvergieren kann.

Daraus folgt jedoch nicht, dass $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ konvergieren muss. Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} s_k := (-1)^k \end{eqnarray*}$ .

Bei diesem Beispiel ist es recht offensichtlich, dass dann $\begin{eqnarray*} {\frac{\sum_{k=1}^{n }{s_k \cdot t_k}}{s_n}} \end{eqnarray*}$ nicht konvergieren kann, aber wer sagt dir, dass es nicht andere Beispiele geben könnte? Wink

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