Eindeutigkeit der Lsg von y' = 2ty

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01.04.2010, 15:21	ghuji	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit der Lsg von y' = 2ty Aufgabenstellung Ist das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} y' = 2ty,~ y(0)=0 \end{eqnarray}$ eindeutig lösbar? Ansatz $\begin{eqnarray} y'=f(t,y),~y(t_0)=y_0, ~f \in I \times J, I=[t_0-a, t_0+a], J=[y_0-b, y_0+b]. \end{eqnarray}$ Satz von Picard-Lindelöf $\begin{eqnarray} R = \left\{(t,y); \|t-t_0\|\leq a, \|y-y_0\|\leq b, \right\}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(t,y) \end{eqnarray}$ ist stetig in Rechteck R $\begin{eqnarray} \frac{\delta f}{\delta y} \end{eqnarray}$ existiert und ist stetig in R daraus folgt, es existiert ein Intervall I auf dem das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} <br /> \begin{matrix} y'=f(t,y) \\ y(t_0)=y_0 \end{matrix}<br /> \end{eqnarray}$ eine eindeutige Lösung y(t) hat. Lipschitzbedingung $\begin{eqnarray} L \geq 0 \end{eqnarray}$ existiert, sodass für alle $\begin{eqnarray} t \in I \end{eqnarray}$ und für alle $\begin{eqnarray} y_1,y_2 \in J \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \|f(t,y_1) - f(t,y_2)\| \leq L \cdot \|y_1-y_2\| \end{eqnarray}$ . L und Definitionsintervall abschätzen $\begin{eqnarray} <br /> 2 t y_1 - 2 t y_2 \leq L \|y_1 = y_2\|\\<br /> L\geq 2t\\<br /> max_{(t,y)\in I \times J} \left( f(t,y) \right) = 2(0+a)(0+b)\\<br /> \alpha = min \left( a, \frac{b}{M} \right) = min \left(a, \frac{1}{2a} \right) = \frac{1}{2a}<br /> \end{eqnarray}$ Schlussfolgerung AWP eindeutig auf $\begin{eqnarray} [-\frac{1}{2a}, \frac{1}{2a}] \end{eqnarray}$ Frage Habe ich L richtig abgeschätzt? EDIT von Calvin Schriftgröße von 16 auf "normal" reduziert
03.04.2010, 02:38	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} L\geq 2a \end{eqnarray}$ ist ok soweit. Für mich stellt sich hier aber vielmehr die Sinnfrage nach der Findung des Intervalls. Du zeigst vernünftig dass $\begin{eqnarray} f(t,y) \end{eqnarray}$ lokal Lipschitz ist und es ist trivial dass es stetig ist, dann folgt doch schon direkt dass ein Intervall sowie eine eindeutige Lösung existieren. Zur Findung eines sinnvollen Intervalls macht es Sinn die Gleichung zu lösen. Nachdem du dir die Arbeit gemacht hast zu zeigen, dass es eindeutig ist reicht es jetzt noch die triviale Lösung anzugeben, welche dann auch auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert ist. edit: Außerdem fällt mir auch auf, dass deine (schwächere) Form des Picard-Lindelöf von dir hier garnicht benutzt wird. Du musst nach deiner Angabe nicht zeigen, dass f lok. Lipschitz ist, sondern dass f stetig und stetig nach y diff.bar ist (-> lok. Lipschitz, darum schwächer).
04.04.2010, 13:15	ghuji	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für die Eindeutigkeit wenn ich dich richtig verstanden habe, genügt folgende Aussage als Beweis für die Eindeutigkeit? $\begin{eqnarray} <br /> f(t,y)=2ty \text{ stetig } \forall t \left[- \infty, +\infty\right] \\<br /> \frac{ \partial f(t,y)}{\partial y} = 2t~\exists \text{ und stetig } \forall t \left[- \infty, +\infty\right]<br /> \end{eqnarray}$ Muss bzw. kann ich die Stetigkeit noch beweisen? Oder ist es doch nicht so einfach wie ich es verstanden habe? Viele Grüße, Curel
04.04.2010, 13:45	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würd ja nicht $\begin{eqnarray} \pm \infty \end{eqnarray}$ in das Intervall einschließen, aber: Ja, das genügt eigentlich. Wenn du einfach "stetig" sagst, bedeutet es "im ganzen Definitionsbereich stetig". Ob du jetzt noch beweisen musst, dass diese Funktionen stetig sind, kommt ganz auf euren Tutor bzw. Prof. an. Eigentlich ist es ja trivial, dass beides als Produkte von stetigen Funktionen wieder stetig sind, aber manche möchten das dann auch wirklich so mit dieser Begründung da stehen haben.
04.04.2010, 13:50	ghuji	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für die Eindeutigkeit Danke. Also würde ich das Intervall besser mit $\begin{eqnarray} \left(- \infty, +\infty\right) \end{eqnarray}$ angeben?
04.04.2010, 13:55	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher. Wenn das Intervall $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ein schließt, müsstest du im Endeffekt ja auch sowas wie $\begin{eqnarray} f(\infty,y) \end{eqnarray}$ definieren, weil dann ist es legitim das dort einzusetzen. Sowas macht einem eigentlich mehr Probleme als es die Arbeit wert ist.
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04.04.2010, 14:07	ghuji	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Überprüfung, ob ich es verstanden habe: Für ein weiteres Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} y'=3 \left( \sqrt[3]{y} \right)^2,~~y(0)=0 \end{eqnarray}$ würde ich dann folgendermaßen vorgehen: $\begin{eqnarray} <br /> f(t,y)= 3 \left( \sqrt[3]{y} \right)^2 \text{ stetig } \forall t \left(- \infty,, +\infty \right) \\<br /> \frac{\partial f}{\partial y} = 2 \sqrt[3]{y} \exists \text{ und stetig } \forall t \left(- \infty,, +\infty \right) \\<br /> \end{eqnarray}$ und somit eindeutig lösbar? Das Problem ist, dass ich mir in der Übung notiert hatte, dass es zwei Lösungen gibt: [latex] y=0 \text{ und } y=t^3[\latex].
04.04.2010, 15:00	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung ist falsch. Sie ist nicht definiert in 0 geschweige denn stetig.
04.04.2010, 15:15	ghuji	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das folgendermaßen korrekt? $\begin{eqnarray} <br /> f(t,y)= 3 \left( \sqrt[3]{y} \right)^2 \text{ stetig } \forall t \in \left(- \infty, +\infty \right) \\<br /> \frac{\partial f}{\partial y} = 2 \frac{1}{\sqrt[3]{y}}~\exists \text{ und stetig } \forall t \in \left(- \infty, 0 \right) \text{ and } t \in \left(0, +\infty \right)\\<br /> \end{eqnarray}$ wie kann ich von hier (oder überhaupt) argumentieren, dass keine eindeutige Lösung existiert?
04.04.2010, 22:37	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass keine eindeutige Lösung existiert kannst du nur argumentieren, indem du mehrere angibst. Picard-Lindelöf gibt nur ein paar Bedingungen an unter denen eine eindeutige Lösung sicher existiert. Nur bei einer Gleichung $\begin{eqnarray} y'=f(x,y) \end{eqnarray}$ wo f nicht Lipschitz oder stetig ist, kann ohne weiteres nichts über die Eindeutigkeit gesagt werden. In diesem Fall ist die Ableitung ja in der wichtigen Anfangsbedingung nicht stetig, also kannst du deinen Picard-Lindelöf ja nicht verwenden - tatsächlich existieren auch mehrere Lösungen. Für eine Anfangsbedingung außerhalb des Nullpunkts könntest du wieder eine eindeutige Lösung finden. edit: Eine divergente Ableitung ist auch ein gutes Zeichen für nicht lok. Lipschitz (mal als Beispiel): Die Bedingung $\begin{eqnarray} f: D \to \mathbb{R} :\forall U \subset D : \exists L \geq 0: \forall x,y \in U : \|f(x)-f(y)\|\leq L \|x-y\| \end{eqnarray}$ lässt sich ja so umformulieren: $\begin{eqnarray} f: D \to \mathbb{R} : \forall U \subset D: \forall x,y \in U: x\neq y : \frac{\|f(x)-f(y)\|}{\|x-y\|}< \infty \end{eqnarray}$

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