Vektoraufgabe

01.04.2010, 19:52

jodec

Vektoraufgabe

Meine Frage:
Hallo, könnte mir jemand bei den folgenden Aufgaben bitte helfen?!?!?
Ich komm leider auf keine Lösung und weiß nicht wie ich daran gehen soll!!

Also:

Wie muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear
äbhängig sind?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ebenso bei

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 1+a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ a \\ 2+a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ a \\ 3+a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hoffe Ihr könnt mir helfen !

Meine Ideen:
Ich hab gedacht ich stelle ein LGS auf und versuche a zu ermitteln!

3r+s = t(a)
r = 2t
r(a)+4s = t

naja iwie bekomm ich das nicht hin unglücklich

01.04.2010, 20:27

Equester

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Ich kann dir nur einen Tipp geben, bevor ich weitergehe Augenzwinkern

Was bedeutet denn lineare Unabhängigkeit?!
Was muss gelten?

3r + 1s + at = ?
1r + 0s + 2t = ?
ar + 4s + 1t = ?

Vllt hilft dir das schon weiter Augenzwinkern

01.04.2010, 20:44

jodec

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RE: Vektoraufgabe
verwirrt

sie sind unabhängig, wenn sich genau eine lösung ergibt und zwar 0.

?=0

aber ich soll doch einen wert für a herraus bekommen verwirrt

01.04.2010, 21:03

Iorek

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sie sind unabhängig, wenn sich genau eine lösung ergibt und zwar 0.

Das stimmt so nicht ganz, überleg da nochmal: Wann sind Vektoren linear unabhängig, wann sind sie abhängig?

02.04.2010, 11:44

Leopold

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@ jodec

Du hast "schon irgendwie" recht, müßtest dich allerdings präziser ausdrücken. Der springende Punkt ist: Was ist mit "Lösung" gemeint?

Die Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} \, , \, \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \, , \, \vec{w} = \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sind genau dann linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} r \, \vec{u} + s \, \vec{v} + t \, \vec{w} = \vec{o} \end{eqnarray*}$

nur (!!!) die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} r=s=t=0 \end{eqnarray*}$ besitzt.

Es sind daher diejenigen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, die auch nichttriviale Lösungen $\begin{eqnarray*} (r,s,t) \end{eqnarray*}$ ermöglichen.

Du mußt also das zugehörige lineare Gleichungssystem lösen, als wäre dir $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bekannt. An Stellen, wo durch einen Term, der $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ enthält, dividiert werden muß, ist zu untersuchen, wann der entsprechende Term 0 wird. Denn die Division durch 0 ist verboten. An diesen Stellen muß eine Fallunterscheidung durchgeführt werden.

Ich fange die Rechnung einmal an. Es ist geschickt, die erste und dritte Zeile mit der zweiten zu bearbeiten, da diese vorne eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ enthält. Ich addiere also das $\begin{eqnarray*} (-3) \end{eqnarray*}$ -fache der zweiten Zeile zur ersten und das $\begin{eqnarray*} (-a) \end{eqnarray*}$ -fache der zweiten Zeile zur dritten. Dann vertausche ich noch die erste und zweite Zeile. Bis dahin sind keine Divisionen durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Terme vorgekommen, also keine Fallunterscheidungen erforderlich:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} r & s & t & & \\ - & - & - & & \\ 3 & 1 & a & | & 0 \\ 1 & 0 & 2 & | & 0 \\ a & 4 & 1 & | & 0 \\ - & - & - & & & \\ 1 & 0 & 2 & | & 0 \\ 0 & 1 & a-6 & | & 0 \\ 0 & 4 & 1-2a & | & 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Und wie geht es jetzt weiter?

02.04.2010, 18:56

jodec

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RE: Vektoraufgabe
also nehme ich das (-4) - fache der Zweiten ind addiere es zur Dritten. dann kann ich die Dritte nach (a) auflösen!

-6a + 25 = 0

a= 25/6

das müsste dann ja richtig sein Gott

03.04.2010, 09:14

Leopold

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RE: Vektoraufgabe

Zitat:

Original von jodec
dann kann ich die Dritte nach (a) auflösen!

Diese Formulierung läßt mich stark daran zweifeln, daß du die Sache verstanden hast. Richtig wäre es zu sagen:

Wenn $\begin{eqnarray*} a = \frac{25}{6} \end{eqnarray*}$ ist, fällt eine Gleichung weg, so daß das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen $\begin{eqnarray*} (r,s,t) \end{eqnarray*}$ hat (also auch nichttriviale). Für $\begin{eqnarray*} a \neq \frac{25}{6} \end{eqnarray*}$ läßt sich das Gleichungssystem eindeutig auflösen, so daß nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} (r,s,t) = (0,0,0) \end{eqnarray*}$ verbleibt.

03.04.2010, 14:45

jodec

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Danke Dir!

Ich glaub ich hab es verstanden, nur mit der Formulierung hapert es ein bisschen Augenzwinkern

.
Das Gleiche sagt meine Lehrerin auch immer traurig

In diesen Aufgaben sind ja voneinander linear abhängige Vektoren gesucht, welches eine Nichttriviallösung vorraussetzt. Wie gesagt ist dieses nur der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} a = \frac{25}{6} \end{eqnarray*}$ ist.

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