Ganzrationale Funktionen

24.10.2006, 16:36

Nuria

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Ganzrationale Funktionen

Hey,

hab immer mal hier herum geschmökerzt und mich nun auch angemeldet.

Mein Problem ist meine Hausaufgabe. Ich bin mir nicht sicher ob ich die Aufgabenstellung verstanden habe.

Prüfe, welche der Zahlen -2,2, -3, 3 usw. Nullstellen der ganzrationalen Funktion f sind. Bestimme dann durch Polynomdivision die weiteren Nullstellen...

Die Aufgabe: f(x) = x(hoch4) - 17x³ + 53x² - 7x - 78

Muss ich dann die Zahlen bei f(x) als y einsetzen oder als die xe???

Bestimmt ne total blöde Frage... Ich hoffe ich komme dann danach alleine weiter.

24.10.2006, 16:40

babelfish

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Willkommen

als nullstelle bezeichnet man immer die stellen, bei denen der graph die x-achse schneidet; also die, bei denen der y-wert 0 wird!
hier hast du jetzt mehrere x-werte als vorschläge gegeben (weißt du, nach welchem system diese ausgesucht wurden?) und musst nun ausprobieren, ob sie wirklich nullstellen sind!

24.10.2006, 20:40

Nuria

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Danke für die nette Begrüßung... Big Laugh

Big Laugh

Nein, ich weiß leider nicht wie diese ausgesucht werden. Bin eine wirkliche Niete in Mathe, aber Nachhilfe ist unterwegs.

Also, wäre dann f(x) was ja y ist, gleich null. Hab ich das richtig verstanden ?

So stände dann zum beispiel bei der Aufgabe 0 = x(hoch 4) - 17x³ + 53 x² - 7x - 78

24.10.2006, 20:46

system-agent

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schreib statt
x(hoch 4) lieber x^4 oder benutze noch besser den formeleditor !

die gleichung die du hingeschrieben hast liefert tatsächlich die nullstellen, also die werte für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ an denen $\begin{eqnarray*} f(x)=y=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
nun hast du aber schon werte vorgegeben. setz die dinger doch einfach mal ein und schau für welche deine gleichung erfüllt ist.

25.10.2006, 08:26

babelfish

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wenn man eine nst erraten soll, ist es sinnvoll ein bisschen mit system zu raten! Augenzwinkern

Augenzwinkern

deswegen probiert man zu allererst die teiler des letzten summanden aus...
bei dir wäre das die -78, also +-1, +-2, +-3, ... sind deine teiler und potenzielle nst!
wenn du die der reihe nach ausprobierst, wirst du sicherlich schnell auf eine nst treffen!

25.10.2006, 08:28

Nuria

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Zitat:

Original von system-agent

nun hast du aber schon werte vorgegeben. setz die dinger doch einfach mal ein und schau für welche deine gleichung erfüllt ist.

Also, soll ich die vorgegeben Werte statt den x-en einsetzen???

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25.10.2006, 08:29

babelfish

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RE: Ganzrationale Funktionen
genau, schließlich war deine aufgabe:

Zitat:

Original von Nuria
Prüfe, welche der Zahlen -2,2, -3, 3 usw. Nullstellen der ganzrationalen Funktion f sind. Bestimme dann durch Polynomdivision die weiteren Nullstellen...

Die Aufgabe: f(x) = x(hoch4) - 17x³ + 53x² - 7x - 78

25.10.2006, 14:12

Nuria

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Also, den ersten Teil habe ich nun hinter mir. Habe die Zahlen nun alle ausgerechnet:

Meine Ergebnisse sind:

bei -2 = -156 (--> also keine Nullstelle, richtig ? )
bei 2 = 0 (--> Nullstelle vorhaben, nur wo ? )
bei -3 = -156
bei 3 = 0
bei 5 = -288
bei -5 = 132
bei 7 = -960
bei 10 = -1848

So, bevor ich zu dem zweiten Teil gehen konnte. HAbe ich mir die beispielaufgabe von der Tafel angeschaut, wo wir die Polynomdivion gelernt haben. Leider versteh ich nicht ganz wo ein Teil davon her kommt.
Vielleicht kann mir das einer noch erklären.

$\begin{eqnarray*} 4x³ + 2x² + 5x - 1505 = (x-7) * (x-x2)(x-x3)<br /> \end{eqnarray*}$

Wie komme ich auf (x-7) ???

Weiß nämlich grad nicht wie ich weitermachen soll.

25.10.2006, 14:19

derkoch

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Zitat:

Original von Nuria
Also, den ersten Teil habe ich nun hinter mir. Habe die Zahlen nun alle ausgerechnet:

Meine Ergebnisse sind:

bei -2 = -156 (--> also keine Nullstelle, richtig ? )
bei 2 = 0 (--> Nullstelle vorhaben, nur wo ? )
bei -3 = -156
bei 3 = 0
bei 5 = -288
bei -5 = 132
bei 7 = -960
bei 10 = -1848

So, bevor ich zu dem zweiten Teil gehen konnte. HAbe ich mir die beispielaufgabe von der Tafel angeschaut, wo wir die Polynomdivion gelernt haben. Leider versteh ich nicht ganz wo ein Teil davon her kommt.
Vielleicht kann mir das einer noch erklären.

$\begin{eqnarray*} 4x³ + 2x² + 5x - 1505 = (x-7) * (x-x2)(x-x3)<br /> \end{eqnarray*}$

Wie komme ich auf (x-7) ???

Weiß nämlich grad nicht wie ich weitermachen soll.

weil 7 eine nullstelle der funktion ist!

zur polynomdivision:
http://de.wikipedia.org/wiki/Polynomdivision

25.10.2006, 14:28

Nuria

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Ah, wieder was verstanden.

Also, muss ich dann bei dieser Aufgabe aus dem Buch nun folgendes machen:

Also, lautet dann die Aufgabe:
Da ich weiß, dass 2 eine Nullstelle ist, würde die Aufgabe zur Polynomdivion dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} 2^4-17*2³+53+2²-7+2-78 = (x-2) * (x-x2)(x-x3)(x-x4) \end{eqnarray*}$

Hab ich das jetzt richtig verstanden

Könnte ich auch für die zweien vor dem gleich andere Zahlen einsetzen ? Um herausszufinden ob das ne Nullstelle ist, und die 2 bei (x-2) dann stehen lassen.

Habe mir den Link von wikipedia mal durchgelesen, aber wer ein mathematisches null ist, der versteht vor lauter fachwörtern leider nicht viel.

25.10.2006, 14:32

derkoch

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Zitat:

Original von Nuria

$\begin{eqnarray*} 2^4-17*2³+53+2²-7+2-78 = (x-2) * (x-x2)(x-x3)(x-x4) \end{eqnarray*}$

wo hast du jetzt denn diese sachen her? verwirrt

verwirrt

25.10.2006, 14:36

Nuria

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Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

Original von Nuria

$\begin{eqnarray*} 2^4-17*2³+53+2²-7+2-78 = (x-2) * (x-x2)(x-x3)(x-x4) \end{eqnarray*}$

wo hast du jetzt denn diese sachen her? verwirrt

verwirrt

Mhhh... hab mir das Beispiel angeguckt, da steht ja auch was von diesem (x-x2)usw. dabei... die zahlen sind halt x1, das ist ein wert. Da wird nicht x*1 gerechnet.

Hab ich wohl was falsch verstanden, aber wie dann...

In der Aufgabe steht ja: Bestimme dann durch Polynomdivion die weiteren Nullstellen. Aber wie mach ich das ?

25.10.2006, 14:41

derkoch

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$\begin{eqnarray*} (4x^3 + 2x^2 + 5x - 1505) : (x-7) = \end{eqnarray*}$

jetzt geht's nach dem schema wie im wiki-link!

versuch es mal!

25.10.2006, 14:46

Nuria

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Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} (4x^3 + 2x^2 + 5x - 1505) : (x-7) = \end{eqnarray*}$

jetzt geht's nach dem schema wie im wiki-link!

versuch es mal!

Das ist ja die Beispielaufgabe von der Tafel, die wir schon ausgerechnet haben.

Also, würde das dann bei der Aufgabe aus dem Buch folgendermaßen lauten:

$\begin{eqnarray*} (2^4 - 17*2^3 + 53*2^2-7*2-78 ) : (x-2) = \end{eqnarray*}$

Muss es dann +2 heißen, weil ich ja vorher ausgerechnet hab, dass -2 keine Nullstelle ist. Sondern nur 2...

25.10.2006, 14:49

derkoch

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was sollen aber diese:
$\begin{eqnarray*} 2^4 \quad 2^3 \quad ... \end{eqnarray*}$

dastellen? wo kommen die her?

25.10.2006, 14:51

Nuria

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Zitat:

Original von derkoch
was sollen aber diese:
$\begin{eqnarray*} 2^4 \quad 2^3 \quad ... \end{eqnarray*}$

dastellen? wo kommen die her?

ah... die hatte ich schon ein gesetzt... das sind in der aufgabe x-e
Soll ich die wieder wegmachen, so dass es dann heißt

$\begin{eqnarray*} (x^4 - 17x^3 + 53x^2 - 7x -78) : ( x-2) \end{eqnarray*}$

Und jetzt nach dem Schema wie wiki ausrechnen ???

25.10.2006, 14:54

derkoch

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Zitat:

Original von Nuria

ah... die hatte ich schon ein gesetzt... das sind in der aufgabe x-e
Soll ich die wieder wegmachen, so dass es dann heißt

$\begin{eqnarray*} (x^4 - 17x^3 + 53x^2 - 7x -78) : ( x-2) \end{eqnarray*}$

Und jetzt nach dem Schema wie wiki ausrechnen ???

du darfst noch nix einsetzen!

jetzt genau nach schema von wiki!

25.10.2006, 14:55

Nuria

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Also, darf ich lediglich vorher eine NUllstelle ausrechnen und diese dann in die letzte klammer schreiben... Der Rest bleibt so. Wieder was gelernt. Big Laugh

Big Laugh

Werde mich dann mal an die AUfgabe begeben, und mich gleich wieder melden...

25.10.2006, 15:21

Nuria

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irgendwas hab ich falsch gemacht:

Habe nachher raus $\begin{eqnarray*} x^3-15x^2+23x+39 \end{eqnarray*}$

Aber mit dem rest 156

25.10.2006, 15:27

derkoch

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Zitat:

Original von Nuria
irgendwas hab ich falsch gemacht:

Habe nachher raus $\begin{eqnarray*} x^3-15x^2+23x+39 \end{eqnarray*}$

Aber mit dem rest 156

nix rest! hast dich verrechnet! Kannst ja die schritte mal zeigen!

Zitat:

Original von Nuria
$\begin{eqnarray*} x^3-15x^2+23x+39 \end{eqnarray*}$

Freude

25.10.2006, 15:31

Nuria

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Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

Original von Nuria
irgendwas hab ich falsch gemacht:

Habe nachher raus $\begin{eqnarray*} x^3-15x^2+23x+39 \end{eqnarray*}$

Aber mit dem rest 156

nix rest! hast dich verrechnet! Kannst ja die schritte mal zeigen!

Zitat:

Original von Nuria
$\begin{eqnarray*} x^3-15x^2+23x+39 \end{eqnarray*}$

Freude

Das stimmt, das letzte Ergebnis ???

Also, unter der Aufgabe sind folgendes meine rechenschritte:
-(x^4 -2x^3)
____________

-x^3 + 53 x^2 -7x -78
(-15x^3+30x^2)
______________

23 x^2 -7x -78
-(23x^2 - 46 x)
________

39 x - 78
-(39x - 78)
_______
0

Fehler gefunden, das minus vor der klammer löst das minus vor der lkammer ja auf...

Und wie gehe ich nun weiter ? ist das das ender der aufgabe ?

25.10.2006, 15:34

Nuria

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Das mit der Aufgabe hat wohl nicht geklappt... Mom...

25.10.2006, 15:40

derkoch

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supi!
jetzt mußt das gleiche wieder hierauf anwenden:

$\begin{eqnarray*} f(x) =x^3-15x^2+23x+39 \end{eqnarray*}$

wieder ne nullstelle "raten" danach wieder polynomdivision machen!
du siehst ja , daß nach jedem durchgang der grad des poynoms sich verringer hat, daß machst du solange, bist du es auf grad 2 reduziert hast, sodaß du es mit der pq-formel lösen kannst! dann hast du sämtliche nullstellen der funktion bestimmt!

25.10.2006, 15:43

Nuria

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Zitat:

Original von derkoch
supi!
jetzt mußt das gleiche wieder hierauf anwenden:

$\begin{eqnarray*} f(x) =x^3-15x^2+23x+39 \end{eqnarray*}$

wieder ne nullstelle "raten" danach wieder polynomdivision machen!
du siehst ja , daß nach jedem durchgang der grad des poynoms sich verringer hat, daß machst du solange, bist du es auf grad 2 reduziert hast, sodaß du es mit der pq-formel lösen kannst! dann hast du sämtliche nullstellen der funktion bestimmt!

Jetzt versteh ich das ganze erstmal. Dass das so aufwendig ist, hätte ich nicht gedacht. OK, bei dieser Formel hab ich dann 3, also lautet das ganze

$\begin{eqnarray*} (x^3-15x^2+23x+39) : (x-3) \end{eqnarray*}$

Stimmts ???

25.10.2006, 15:48

derkoch

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Freude

25.10.2006, 15:52

Nuria

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Zitat:

Original von derkoch
Freude

Freude

Danke... AUf hoch kommt direkt wieder ein tief... :-(

Mein Rechenweg:

(x^3-15x^2+23x+39) : (x-3) = x^2 - 12x + 59
-(x^3-3x^2)
_________

-12x^2 + 23x + 39
-(-12x^2 -36 x)
____________

59 x + 39
-(59 x - 177 )
_________

Statt der 177 hätte ich doch auf -39 kommen müssen, oder seh ich das falsch...

25.10.2006, 15:55

derkoch

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Zitat:

Original von Nuria

Zitat:

Original von derkoch
Freude

Freude

Danke... AUf hoch kommt direkt wieder ein tief... :-(

Mein Rechenweg:

(x^3-15x^2+23x+39) : (x-3) = x^2 - 12x + 59
-(x^3-3x^2)
_________

-12x^2 + 23x + 39
-(-12x^2 -36 x)
____________

59 x + 39
-(59 x - 177 )
_________

Statt der 177 hätte ich doch auf -39 kommen müssen, oder seh ich das falsch...

vorzeichenfehler!!

$\begin{eqnarray*} -12(-3) = ??? \end{eqnarray*}$

25.10.2006, 15:59

Nuria

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Also, heißen die letzten Schritte:

-12^2 + 23x + 39
-(-12x^2 +36x)

_________

59x + 39
(jetzt fehlt der letzte schritt noch)

Häh, ne kann auch nicht sein...

Ich hatte aber + gerechnet... verwirrt

verwirrt

25.10.2006, 16:02

derkoch

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und wo ist das problem? Augenzwinkern

Augenzwinkern

-13x+39 : (x-3)=

25.10.2006, 16:04

Nuria

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Zitat:

Original von derkoch
und wo ist das problem? Augenzwinkern

Augenzwinkern

-13x+39 : (x-3)=

Das Verwirrende ist grad die 59 unten...

Also hätte ich unten stehen

59 x + 39

und dann
-(59x + 39 )

_______

0

das minus vor edr klammer wars auch, dadurch dass das ja dann in der klamemr zu minus wird, geht das ja super auf...

25.10.2006, 16:06

derkoch

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und nu kannst du die quadratische gleichung mit pq-formel lösen!

25.10.2006, 16:09

Nuria

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Bei der pq Formel steht das dann so da:

$\begin{eqnarray*} \frac{12}{2} \pm \sqrt{ (\frac{12}{2} )^2 - (-13)} \end{eqnarray*}$

25.10.2006, 16:11

Nuria

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Als Ergebnis bekomme ich dann 42 und -1 raus. Hab ich dann alles???

25.10.2006, 16:14

derkoch

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Freude

danach hast du ja alle nullstellen der funktion und kannst diese dann in folgende form dastellen:
$\begin{eqnarray*} f(x) = (x-x_1) \cdot (x-x_2) .... \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} x_1, \quad x_2, .. \end{eqnarray*}$ deine gefundenen nullstellen sind!

25.10.2006, 16:14

derkoch

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Zitat:

Original von Nuria
Als Ergebnis bekomme ich dann 42 und -1 raus. Hab ich dann alles???

geschockt

geschockt

wie das?

verwirrt

25.10.2006, 16:17

Nuria

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Zitat:

Original von derkoch

Zitat:

Original von Nuria
Als Ergebnis bekomme ich dann 42 und -1 raus. Hab ich dann alles???

geschockt

geschockt

wie das?

verwirrt

ich hab das oben in die Formel noch nicht eingesetzt...

Du hast noch drei Pünktchen hinter die Formel gesetzt, geht die noch weiter?

25.10.2006, 16:18

Nuria

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Setze ich für x auch was ein ?

25.10.2006, 16:23

derkoch

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$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{12}{2} \pm \sqrt{ (\frac{12}{2} )^2 - (-13)} \end{eqnarray*}$

erstmal das hier ausrechnen!

25.10.2006, 16:24

Nuria

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Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{12}{2} \pm \sqrt{ (\frac{12}{2} )^2 - (-13)} \end{eqnarray*}$

erstmal das hier ausrechnen!

das hatte ich mit 42 und -1 gemeint... Für + kommt 42 raus bei - das andere...

Oder habe ich das falsch in den TR eingegeben ?

25.10.2006, 16:27

derkoch

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überlege mal wie man das rechnet!

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