deltaepsilon kriterium - abschätzen von delta

02.04.2010, 16:08	herman	Auf diesen Beitrag antworten »
deltaepsilon kriterium - abschätzen von delta Ich habe eine Frage zum abschätzen von delta. ich tu mich schwer beim abschätzen von delta, kann ja sein, dass es da irgendeinen trick gibt.. aber im www noch in meinem skript find ich was, da is delta meist irgendwie abgeschätz bsp: f(x) = x² f(x_0)= 2² und x-2 =delta f(x)-f(x_0)< epsilon dann is ja: x²-4 = (x-2)(x+2) <= 5(x-2) < 5 * (epsilon/5) = epsilon (alles in betragsstiche) warum man da delta = epsilon/5 wählt... ich checks halt einfach nicht im skript steht noch, da ja epsilon >0 nimmt man delta = epsilon/5 höchstens aber =1 kann mir das einer genauer erklären?
02.04.2010, 16:55	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach dich doch mal mit Latex vertraut (Formeleditor) oder versuche das Ganze sonst irgendwie verständlich aufzuschreiben. So werde ich mir sicher nicht die Mühe machen das zu entziffern und ich denke auch andere werden eher abgeneigt sein, deine Frage zu beantworten. lg Felix
02.04.2010, 17:38	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss nicht, ob ich deine Frage wirklich verstehe, aber das delta muss man halt einfach genügend klein wählen und hat da meist ziemlich grossen Spielraum, wie man das gerne tun will. Also in deinem Beispiel: Sei mal ein $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ gegeben. Wenn man mal sagt, dass delta sicher kleiner als 1 gewählt werden soll, dann sieht man $\begin{eqnarray} \|x^2-2^2\|=\|x-2\|\|x+2\| \leq \delta \cdot \|x+2\| \leq \delta \|(2+\delta)+2\| \leq \delta \cdot \|2+1+2\| = \delta \cdot 5 \end{eqnarray}$ Jetzt soll ja \|x^2-2^2\| kleiner als epsilon sein. Und wir haben eine schöne Ungleichungskette gebastelt. Würde man $\begin{eqnarray} \delta \leq \epsilon / 5 \end{eqnarray}$ wählen, dann wäre doch $\begin{eqnarray} \|x^2-2^2\| \leq 5 \delta \leq 5 (\epsilon / 5) = \epsilon \end{eqnarray}$ Also wählt man es halt gerade als epsilon / 5... Man könnte aber auch delta := epsilon / 10 setzen oder epsilon / 10^12413913481. Kommt wirklich nicht drauf an, solange das ganze dann kleiner ist als epsilon.
02.04.2010, 23:51	herman	Auf diesen Beitrag antworten »
aber warum hast du da jetzt d\|2+d+2\| <= d \|2+1+2\| gewählt? warum hast du für das x =2+d geschrieben und dann das d mit 1 gleichgesetzt, waruuum? ich weiß zwar das e nicht von x abhängen darf und man des eben irgendwie aus der gleichung rausbekommen soll, aber ich kapier des da net der rest is dann wieder klar, ich häng eben nur an dem scheiß delta bzw. jetzt hier an dieser umformung
03.04.2010, 02:23	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Also man schaut sich ja nur die x aus einer gewissen delta-Umgebung von x_0 an. Und bei dem Schritt $\begin{eqnarray} \delta \cdot \|(2+\delta)+2\| \leq \delta \|2+1+2\| \end{eqnarray}$ habe ich halt benutzt, dass ich das Delta sicher kleinergleich 1 wähle (das darf ich natürlich immer, ich hätte aber auch entscheiden können, dass ich das delta kleiner als 2 wählen will und dann wäre da halt $\begin{eqnarray} \delta \cdot \|(2+\delta)+2\| \leq \delta \|2+2+2\| \end{eqnarray}$ gestanden...) . Also nochmal ein wenig anders: Wenn man $\begin{eqnarray} x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \end{eqnarray}$ betrachtet, und dann z.B. $\begin{eqnarray} x+x_0 \end{eqnarray}$ irgendwo stehen hat, dann kann man dies immer nach oben abschätzen durch $\begin{eqnarray} x+x_0 < x_0 + \delta + x_0 \end{eqnarray}$ da ja $\begin{eqnarray} x < x_0 + \delta \end{eqnarray}$ ist. Wenn man dazu noch weiss, dass delta z.B. immer kleiner als 15 ist, kann man das dann natürlich noch weiter abschätzen. Andere Abschätzungen, welche sicher gelten sind z.B. $\begin{eqnarray} x_0 - x < x_0 - (x_0 - \delta) = \delta \end{eqnarray}$ Falls x_0 > 0 und delta genügend klein, gilt beispielsweise auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{x_0 + \delta} < \frac{1}{x} < \frac{1}{x_0 - \delta} \end{eqnarray}$

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