Defiziente Zahlen

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Kerstin H. Auf diesen Beitrag antworten »
Defiziente Zahlen
Hallöchen,

ich habe eine Frage zu defizienten Zahlen. In meiner Matheklausur (elementare Zahlentheorie) hatte ich folgende Aufgabe:

Welche Zahl der Form 136 * n ist die kleinste nicht abundante Zahl, und warum?

Ich hatte leider nicht einmal einen Ansatz.

Also 136 an sich ist eine defiziente Zahl. soweit ok. Herausgefunden habe ich, dass wenn ich 136 mit jeweils einer weiteren Primzahl multipliziere, die Zahl immer näher zur Defizienz (kann man das so schreiben) rückt, je größer die multiplizierte Primzahl ist.


Ich habe auch ein n gefunden (durch ausprobieren). Für n= 199 ist 136 * 199 defizient. Aber ich weiß nicht, ob dies das kleinste Beispiel ist, und erst recht nicht, warum. Kann mir jemand helfen?

Ich hoffe, ich habe das Thema hier richtig eingeordnet.

Vielen Dank im Voraus.

LG

Kerstin
AD Auf diesen Beitrag antworten »

"Nicht abundant" ist eine Zahl



genau dann, wenn , wobei die Summe der positiven Teiler von (inklusive selbst) angibt. Nun ist

.

Nehmen wir für , dann folgt aus



sofort , also klappt es bereits für die Primzahl .

Aber es gibt auch noch die Möglichkeiten und zu bedenken. Augenzwinkern
Kerstin H. Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Das war dann ein typischer Fall von "Vor lauter Zahlenbeispielen die Formel nicht mehr sehen".


Also könnte man bei der Aufgabe insgesamt doch eine Fallunterscheidung machen, oder?

In einer Übung haben wir uns mit "potenziell abundanten Zahlen" befasst. Dabei sind Zahlen potenziell reich, wenn man die Exponenten der vorhandenen Primfaktoren einer defizienten Zahl (wie hier die 136) erhöhen kann und dadurch dann die Zahl irgendwann abundant wird. Dabei haben wir herausgefunden, dass alle Zahlen der Form irgendwann abundant werden, man weiß nur nicht, wann.

Fall 1: Praktischer Weise geschieht das bei der Zahl 136 schon, wenn man den Exponenten der Zahl 2 um eins erhöht, somit kann die Zahl bzw. ausgeschlossen werden.


Fall 2: die Potenz der Zahl 17 wird erhöht. Dabei kann man die Potenz nur um 1 erhöhen, um unter der gefundenen Zahl 137 zu bleiben. In diesem Fall und insgesamt ist die Zahl jedoch auch schon abundant. Also bleibt nur der dritte Fall.

Fall 3: als n muss ein weiterer von 2 und 17 verschiedener Primfaktor eingebracht werden. Und der kleinste ist dann, nach deiner Rechnung 137. (Ich habe allerdings gestern noch was länger gebraucht, um von dem Produkt auf 137 zu kommen. Augenzwinkern )


Könnte man das dann als Lösung der Aufgabe ansehen?

Vielen Dank nochmal.



LG

Kerstin
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kerstin H.
In diesem Fall und insgesamt ist die Zahl jedoch auch schon abundant.

Da rechne besser nochmal nach.
Kerstin H. Auf diesen Beitrag antworten »

Na supi,

also wäre das kleinste gewesen.....haha. Aber der andere Rechenweg wäre die Begründung gewesen und somit ja nicht umsonst. Du hast nicht rein zufällig auch eine Antwort zu meinem vermutlichen Denkfehler im anderen Post, Arthur Dent?

Vielen Dank hierfür und ich wünsche einen schönen Dienstag.

LG

Kerstin
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich weiß nicht, von welchem "vermutlichen Denkfehler" du sprichst.
 
 
Kerstin H. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine meinen Denkfehler zu Euler. Ich vermute zumindest, dass da einer drin steckt....


Geschickte Ausnutzung des Satzes von Euler, Verständnisproblem ( elemetare Zahlentheorie)
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