Wohldefiniertheit

02.04.2010, 18:48

schmouk

Wohldefiniertheit

Hallo,

heute mit folgender Aufgabe

$\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ integre Ringe mit injektivem Ringhomo. $\begin{eqnarray*} \varphi\colon A \to B \end{eqnarray*}$ . Behauptung: Dann setzt sich $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf genau eine Weise durch den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \bar\varphi\colon Quot(A)\to Quot(B) \end{eqnarray*}$ fort.

Dass ein Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \delta\colon A\to Quod(B) \end{eqnarray*}$ existiert und eindeutig ist hab ich gezeigt
(man sagt ja dann auch wohldefiniert glaube ich).

D.h. Auch $\begin{eqnarray*} \bar\varphi \end{eqnarray*}$ existiert und ist eindeutig. Okay.

Jetzt bleibt am Ende jedoch, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\bar\varphi(a)}{1}=\bar\varphi(a) \end{eqnarray*}$ , was ja an sich schon mal voll gut ist, aber dennoch ist das eine Element aus B und das andere aus Quod(B).

Kann ich jetzt mit oben erwähnten wohldefiniertheit diese kleine Hürde nehmen? Ich vermute es, das mit der wohldefiniertheit hab sowieso bisher nie so recht geschallt.

Grüße,

Schmo

02.04.2010, 19:43

kiste

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Man identifiziert B innerhalb von Quot(B) durch diese Einbettung.

02.04.2010, 19:49

schmouk

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Durch $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ? Und was heißt das, wan identifiziert? Dass es eine Bijektive abbildung zwischen B und $\begin{eqnarray*} \{\frac{b}{1}\in Quot(B)\} \end{eqnarray*}$ ? Wie spielt denn da jetzt die wohldefiniertheit mit rein?

02.04.2010, 19:55

kiste

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Naja wenn du die Abbildung fortsetzen willst so musst du B als Teilmenge von Quot(B) identifizieren. Das wird beispielsweise bei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \subset \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gemacht.
Das hat mit wohldefiniert nichts zu tun, das braucht man um zu zeigen dass die Abbildung überhaupt existiert. Warum gibt es überhaupt ein Problem dass die Abbildung existiert? Das liegt daran dass man sie auf Vertretern von Äquivalenzklassen definiert.

02.04.2010, 20:12

schmouk

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Ich dachte genau bei diesem Vertretersystem spielt jetzt die Wohldefiniertheit mit rein.

Ich meine, einfach so kann ich ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ nicht als Teilemenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ansehen, oder?

Und da denke ich kommt dann dieses Identifizieren ins Spiel.

Denn das Problem ist ja im Grunde, schon die Formulierung $\begin{eqnarray*} \bar\varphi\vert_A \end{eqnarray*}$ ist irgendwie "falsch". Denn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ja nur eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Quot(A) \end{eqnarray*}$ , wenn ich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit der Teilmenge $\begin{eqnarray*} \{\frac{a}{1}\in Quot(A) \vert a\in A\} \end{eqnarray*}$ - wie Du sagst - "identifiziere". Aber dass ich dann bei dieser "Identifikationsmenge" und A selbst von Gleichheit reden kann, muss ja irgendwie gerechtfertigt werden.

Okay, mir kommt grad eine leichte Ahnung warum das nichts mit dem Vertretersystem zu tun hat. Aber dennoch, wie ist dieses Identifizieren gerechtfertigt?

LG

Schmo

02.04.2010, 20:22

kiste

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Man definiert das nunmal so, beispielsweise dadurch gerechtfertigt weil es zwischen den beiden Mengen einen Ringisomorphismus gibt der genau der Einbettung entspricht.

02.04.2010, 20:33

schmouk

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gut. okay. dan kann ich hinnehmen.

ich schreibe gleich nochmal den kompletten beweis. wenn du da mal drüber schauen würdest. fänd ich super.

07.04.2010, 01:03

schmouk

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Also vielleicht könntest Du nochmal über den Beweis schauen:

$\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ integre Ringe mit injektivem Ringhomo. $\begin{eqnarray*} \varphi\colon A \to B \end{eqnarray*}$ . Behauptung: Dann setzt sich $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf genau eine Weise durch den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \bar\varphi\colon Quot(A)\to Quot(B) \end{eqnarray*}$ fort.

Setze $\begin{eqnarray*} S:=A\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} A_S=Quot(A) \end{eqnarray*}$ . Analog für $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Seien
$\begin{eqnarray*} \phi_A,\phi_B \end{eqnarray*}$ die kanonischen Homomorphismen, injektiv, da A integer. Definiere $\begin{eqnarray*} \delta := \phi_B\circ\varphi \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist, da $\begin{eqnarray*} 0\notin S,\quad \delta(S)\subseteq Quot(B)\setminus \{0\}=Quot(B) \end{eqnarray*}$ (da Quot(B) Körper und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ injektiv. Deshalb existiert Abbildung $\begin{eqnarray*} \bar\varphi\colon Quot(A)\to Quot(B) \end{eqnarray*}$ . Eindeutig, da $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ eindeutig durch Komposotion definiert.
Also wohldefiniert.

Ich Definiere jetzt mal die Menge $\begin{eqnarray*} A':=\{\frac{a}{1}\vert a\in A \} \subseteq Quot(A) \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} \bar\varphi(\frac{a}{1})=\bar\varphi(\phi_A(a))=\phi_B(\varphi(a))=\frac{\varphi(a)}{1} \end{eqnarray*}$ .

Sol... Und wenn ich das mit dem identifizieren jetzt richtig verstehe, definiere ich einfach für jedes $\begin{eqnarray*} \frac{a}{1}\in A'\quad \frac{a}{1}:= a \end{eqnarray*}$ ? Und identifiziere somit also die Teilmenge A' mit A.

Damit ist $\begin{eqnarray*} \bar\varphi\vert_{A'}=\bar\varphi\vert_A=\varphi \end{eqnarray*}$ , also die Behauptung.

Ist das okay? Also brauche ich die Wohldefiniert hier doch nur, wegen der Eindeutigkeit, sonst für nix!? Richtig?und deshalb brauche ich hier auch keine Repräsentantenunabhängigkeit mehr nachzuweisen, stimmt's?

Genau zu dem Thema hab ich nochwas. Aber erstmal soviel dazu.

Grüße,

Schmo

08.04.2010, 07:22

kiste

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Zitat:

Original von schmouk
$\begin{eqnarray*} \phi_A,\phi_B \end{eqnarray*}$ die kanonischen Homomorphismen

Was soll ein kanonischer Homomorphismus sein? Das musst du genauer erklären

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0\notin S,\quad \delta(S)\subseteq Quot(B)\setminus \{0\}=Quot(B) \end{eqnarray*}$

Aha, delta ist doch gar nicht auf S definiert sondern nur auf A? Und die zweite Gleichung ist offensichtlich falsch.

Zitat:

Deshalb existiert Abbildung $\begin{eqnarray*} \bar\varphi\colon Quot(A)\to Quot(B) \end{eqnarray*}$ . Eindeutig, da $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ eindeutig durch Komposotion definiert.

Hattet ihr da irgendwie nen Satz oder wie kommst du jetzt plötzlich auf diese "eindeutige" Abbildung?

08.04.2010, 10:36

schmouk

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Zitat:

Original von kiste

Zitat:

Original von schmouk
$\begin{eqnarray*} \phi_A,\phi_B \end{eqnarray*}$ die kanonischen Homomorphismen

Was soll ein kanonischer Homomorphismus sein? Das musst du genauer erklären

Für $\begin{eqnarray*} S\subseteq A \end{eqnarray*}$ multiplikative Teilmenge ist der kanonische Ringhomomorphismus der Form $\begin{eqnarray*} \phi: A\to A_S ; \phi(a)=\frac{a}{1}, a\in A \end{eqnarray*}$ definiert. Dieser erfüllt $\begin{eqnarray*} \phi(S)\subseteq (A_S)^* \end{eqnarray*}$ . Das ist...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0\notin S,\quad \delta(S)\subseteq Quot(B)\setminus \{0\}=Quot(B) \end{eqnarray*}$

Aha, delta ist doch gar nicht auf S definiert sondern nur auf A? Und die zweite Gleichung ist offensichtlich falsch.

...universell für obige Eigenschaft. D.h. (hab das Sternchen vergessen) $\begin{eqnarray*} \delta(S)\subseteq Quot(B)\setminus \{0\}=Quot(B)^* \end{eqnarray*}$
Nich definiert? $\begin{eqnarray*} \delta: A\to Quot(B) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S\subseteq A \end{eqnarray*}$ ist doch wohl $\begin{eqnarray*} \delta(S)\subset Quot(B) \end{eqnarray*}$ oder?

Mit der Eindeutigkeit kann ich letztlich auch dann über die Wohldefiniertheit der $\begin{eqnarray*} \bar\varphi \end{eqnarray*}$ Abbildung zeigen, oder?!

08.04.2010, 21:19

kiste

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Okay sieht gut aus, du solltest aber sehr dringend erwähnen dass du eine universelle Eigenschaft benutzt Augenzwinkern

Du musst keine Wohldefiniertheit zeigen, das die Abbildung wohldef. ist folgt doch aus der universellen Eigenschaft(denn daher kommt ja die Abbildung)

08.04.2010, 23:31

schmouk

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Zitat:

Original von kiste
Okay sieht gut aus, du solltest aber sehr dringend erwähnen dass du eine universelle Eigenschaft benutzt Augenzwinkern

Das hört sich gut an. Aber was ist allgemein eine "universelle Eigenschaft" davon gibt's ja viele.

Zitat:

Du musst keine Wohldefiniertheit zeigen, das die Abbildung wohldef. ist folgt doch aus der universellen Eigenschaft(denn daher kommt ja die Abbildung)

Ja klar, aber wie gesagt, ich hab so meine Probleme mit der "Wohldefiniertheit" (unter anderem Augenzwinkern

): Im Grunde genügt ja existenz und Eindeutigkeit. Und das folgt durchaus aus der univesellen Eigenschaft - sehe ich ein.

Rein Praktisch um alle Zweifel aus dem Weg zu räumen: War es das schon? Kann ich jetzt sagen, diese Abbildung ist wohldefiniert? Und wenn ja, was bringt mir das im weiteren. Was weiß ich jetzt, was ich gebrauchen könnten, wollte ich mit den Erkenntnissen jetzt weiterarbeiten?

Danke für Deine Hilfe übrigens,

Grüße,

Schmo

09.04.2010, 09:30

kiste

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Naja du sagst dann eben nicht eine universelle Eigenschaft sondern die universelle Eigenschaft der Lokalisierung.

Und nochmal: Es macht überhaupt keinen Sinn hier von wohldefiniert zu sprechen, du hast keine Abbildung selbst definiert! Man prüft nur auf wohldefiniert wenn man selbst etwas definiert und a priori nicht klar ist dass das wirklich eine Abbildung ist.

14.04.2010, 12:26

schmouk

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vielen dank. ich versteh's! smile

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