f gerade => f' ungerade

02.04.2010, 20:16

Differenzierbarer

f gerade => f' ungerade

Der Sachverhalt im Threadtitel soll bewiesen werden. Zunächst einmal die Definition der Ableitung:

Sei f Funktion. Dann ist:

$\begin{eqnarray*} f': D_1 \longrightarrow \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \mapsto \lim_{x' \to x} \frac{f(x') - f(x)}{x' - x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D_1 := \{x\ |\ x \in D(f), x\ HP\ von\ D(f), f\ an\ der\ Stelle\ x\ differenzierbar \} \end{eqnarray*}$

die Ableitung von f.

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} f'(-x) = -f'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-x) := \lim_{x' \to -x} \frac{f(x') - f(-x)}{x' - (-x)} \end{eqnarray*}$

Und:

$\begin{eqnarray*} -f'(x) = (-1) \cdot f(x) = \lim_{x' \to x} \frac{f(x) - f(x')}{x' - x} \end{eqnarray*}$

Jetzt stellt sich mir folgende Frage. Kann ich Folgendes Schreiben:

$\begin{eqnarray*} f'(-x) = \lim_{x' \to -x} \frac{f(x') - f(-x)}{x' - (-x)} = \frac{f(-x) - f(-x)}{-x +x} \end{eqnarray*}$

Obwohl im Nenner $\begin{eqnarray*} x - x \end{eqnarray*}$ steht? Da steht jetzt im Nenner zwar praktisch 0, aber damit wäre gezeigt, dass mit "f gerade" das das gleiche wie $\begin{eqnarray*} -f'(x) \end{eqnarray*}$ ist. Denn:

$\begin{eqnarray*} -f'(x) = (-1) \cdot f(x) = \lim_{x' \to x} \frac{f(x) - f(x')}{x' - x} = \frac{f(x) - f(x)}{x - x} \end{eqnarray*}$

02.04.2010, 20:44

wisili

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RE: f gerade => f' ungerade
*** Komplettlösung entfernt ***

Ist deplatziert.

02.04.2010, 20:46

Differenzierbarer

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RE: f gerade => f' ungerade

Zitat:

Original von wisili
[latex]*** Komplettlösung entfernt ***

Es muss ohne gehen, nur mit der Definition von oben von "Ableitung". unglücklich

02.04.2010, 21:08

gonnabphd

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*** Komplettlösung entfernt *** siehe auch das Boardprinzip

02.04.2010, 22:39

Differenzierbarer

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gonnabphd:

Ich mache einfach mal nochmal auf den Thread aufmerksam, weil das Posting entfernt wurde. smile

03.04.2010, 02:30

gonnabphd

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Ich weiss halt wirklich nicht, wie man hier gross Tipps geben kann, ohne dass die Lösung praktisch dasteht...

Naja, dann gebe ich mal nen "Tipp" Big Laugh

:

Also, schreib f'(x) nochmal hin, dann klammerst du mal (-1) im Nenner aus und beachtest noch, dass f(x) gerade ist. Und wenn du (-1) ausklammers, lässt du einfach die Reihenfolgen von x, x', f(x), f(x') unberührt... Dann steht's eigentlich schon da.

03.04.2010, 13:16

tigerbine

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Zitat:

Original von gonnabphd
verwirrt

Ich weiss halt wirklich nicht, wie man hier gross Tipps geben kann, ohne dass die Lösung praktisch dasteht...

Naja, dann gebe ich mal nen "Tipp" Big Laugh

Vielen Dank für deinen neuen Einsatz. Freude

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f gerade => f' ungerade

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