Integral mit x im Nenner

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02.04.2010, 22:22	JAG	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit x im Nenner Hallo, ich komme einfach nicht weiter und weiß nicht welchen Fehler ich mache. ich möchte die Fläche von folgendem Integral ausrechnen: Funktion $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{4x^3 -16}{5x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_1^3 \! \frac{4x^3 -16}{5x} \, dx \end{eqnarray}$ , also: $\begin{eqnarray} \| (\frac{x^4 -16x}{2,5x^2}) \| \end{eqnarray}$ Ich rechne zuerst die Nullstelle aus und komme auf x= $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{4} \end{eqnarray}$ Mache ich bei der Nullstelle einen Fehler oder integriere ich falsch? Ich bin für einen kleinen Denkanstoss sehr dankbar, danke1
02.04.2010, 22:29	MLRS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit x im Nenner Falls du behauptest, dass $\begin{eqnarray} \int \frac{4x^3 -16}{5x} \dx = \frac{x^4 -16x}{2,5x^2} \end{eqnarray}$ - das ist falsch. Leite es ab (Quotientenregel!) und du wirst es sehen. Man darf Zähler und Nenner nicht einzeln integrieren, stattdessen musst du es umformen: $\begin{eqnarray} \int \frac{4x^3 -16}{5x} \dx= \int \frac {4x^3}{5x}-\int \frac{16}{5x} \end{eqnarray}$ edit: und ja, Nullstelle beachten!
03.04.2010, 15:28	JAG	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral mit x im Nenner Ok, da habe ich auch meinen Fehler vermutet. Meine Nullstelle $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{4} \end{eqnarray}$ ist richtig, das habe ich mehrfach gerechnet. Aber ich weiß immer nocht nicht, wie ich aus der Umformung integrieren soll. Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} \int \! \frac{4x^3}{5x} - \int \! \frac{16}{5x} \end{eqnarray}$ habe, kann ich damit, so leid es mir tut, auch nicht etwas anfangen. Nach welcher Regel muss ich denn die $\begin{eqnarray} 5x \end{eqnarray}$ behandeln? Ich verstehe das nicht. Ich möchte hier ja keinen Lösungsweg haben, nur eine kleine Hilfestellung, aber ich weiß echt nicht, wie ich das rechnen muss. Ich bin für jede Unterstützung wirklich dankbar.
03.04.2010, 15:30	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Im ersten Summanden kürzen und dann ist das absoluter Standard. Für den zweiten Summanden solltest du wissen, was die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist. air
03.04.2010, 16:21	JAG	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich verstanden, aus $\begin{eqnarray} \int \! (\frac{4x^3}{5x} ) = \int \! (\frac{4x^2}{5} ) = \int \! (\frac{4}{5}) x^2 = (\frac{4}{5}) \int \! x^2 \end{eqnarray}$ mache ich dann aus $\begin{eqnarray} \int \! (\frac{16}{5x} ) = (\frac{16}{5}) \int \! ln(x) \end{eqnarray}$ ?
03.04.2010, 16:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das Integralzeichen vor dem ln entfernst, stimmt es
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03.04.2010, 16:23	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstanden hast du das wohl so, ja. Richtig ist es aber nicht. Es gilt $\begin{eqnarray} (\ln \|x\|)' = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ . Du kannst nun durch Vorziehen des Faktors auf $\begin{eqnarray} \int~\frac{16}{5x}~\dd x = \frac{16}{5} \cdot \int~\frac{1}{x}~\dd x \end{eqnarray}$ kommen. Jetzt denke über diese beiden Dinge mal nach und beachte, wie Integral- und Differentialrechnung zusammenhängen. air P.S.: Auch durch konsequentes Weglassen vom Differential 'dx' wird es nicht richtiger, es wegzulassen.
03.04.2010, 17:08	JAG	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann habe ich wohl auch hier den Fehler gemacht, $\begin{eqnarray} \int \! (\frac{16}{5x} ) \, dx = (\frac{16}{5}) ln(x) \end{eqnarray}$ und hier auch $\begin{eqnarray} \int \! (\frac {4x^3}{5x}) \, dx = \frac {4}{5} \int \! (x^2) \, dx = \frac {4}{5} \cdot \frac {x^3}{3} \end{eqnarray}$ Somit komme ich auf meine Integration von: $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{4x^3 -16}{5x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! (\frac{4x^3 -16}{5x}) = \frac {4}{5} \int \! (x^2) \, dx - \frac{16}{5}\int \! (\frac{1}{x} ) \, dx \end{eqnarray}$ somit $\begin{eqnarray} = [\frac {4}{5} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{16}{5}ln(x)] \end{eqnarray}$
03.04.2010, 17:38	JAG	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool! Danke Euch!!! Ich hab's 'raus!!! Nochmals vielen Dank! PS: Als Fernschüler hat man es nicht leicht.
03.04.2010, 18:07	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du aus dem $\begin{eqnarray} \ln (x) \end{eqnarray}$ noch ein $\begin{eqnarray} \ln \|x\| \end{eqnarray}$ dann sind wir alle zufrieden

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