Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge, für k ungleich n, zwei verschiedene Farben

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Aladin Auf diesen Beitrag antworten »
Ziehen ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge, für k ungleich n, zwei verschiedene Farben
Meine Frage:
Hallo,
ich habe ein Problem mit Kombinatorik. Und zwar: Ich habe n Kugeln, die z.B. zwei verschiedene Farben haben (also eine bestimmte Anzahl der Kugeln ist rot, die anderen grün). Davon ziehe ich k Kugeln ohne Zurücklegen. Wie kann ich ausrechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, die gezogenen Kugeln anzuordnen, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt?
Hier mal ein Beispiel: Ich habe 5 Kugeln, davon sind 2 rot und 3 grün. Ich ziehe 3 Kugeln. Da komme ich dann durch Ausprobieren darauf, dass es 7 Möglichkeiten gibt, die Kugeln anzuorden. Aber bei mehr Kugeln kann man das ja nicht mehr ausprobieren. Gibt es da irgendeine Formel oder so, mit der man das rechnen kann?

Meine Ideen:
Wenn k=n wäre, dann wäre es ja eine Permutation, oder? Dann könnte man es ja rechnen. Oder wenn jede Kugel anders wäre könnte man die Formel n!/(n-k)! nehmen. Das geht hier ja aber auch nicht. Ich hab leider absolut keine Ahnung, wie das gehen könnte.
Ich hoffe, mir kann jemand helfen.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau meinst du mit "Anordnen"? Oder suchst du die Anzahl der Möglichkeiten, die beim Ziehen entstehen können? (Also bei deinem Beispiel gibt es die Möglichkeiten rrg, rgr, grr, rgg, grg, ggr, ...)
Aladin Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau, das meine ich. Die Anzahl der Möglichkeiten.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht man hier am Besten mit einem Baumdiagramm. Eine allgemeine Formel ist mir bei solchen Konstellationen nicht bekannt, allerdings gibt es für große Ziehungen gut funktionierende Approximationsverfahren. Das sprengt allerdings möglicherweise die Schulmathematik.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt eine summierte Formel.

Man ziehe bei r roten und g grünen Kugeln deren n ohne zurückzulegen. Nun zählt man die Variationen für die 2 Farbsymbole und der Länge n.

Solche Variationen mit genau i Symbolen für rot, gibt es .
Summiert wird über i. Es fehlen nur noch die Grenzen ...
(Diese darf ich nicht nennen, sonst wirft mir Duedi wieder eine «Komplettlösung» vor und löscht sie.)
Aladin Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, vielen Dank schonmal für die Antworten. Aber ich verstehe irgendwie nicht, was du geschrieben hast, wisili. Wenn ich das n der roten und grünen Kugeln ziehe, müsste ich doch (r über k) und (g über k) berechnen, oder? Aber wenn k=3 und r=2, dann geht das ja gar nicht. Und was muss man da summieren? Und was ist denn i überhaupt?
Ich hoffe, ich stelle mich nicht zu blöd an, aber ich kapier das echt nicht.
 
 
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich mit i meine, steht im Beitrag oben. Ich verwende n, für das, was du k genannt hast.
Man hat den Eindruck, du bist dir noch nicht sicher, ob du Kombinationen oder Variationen zählen willst.

rrg, rgr, grr, rgg, grg, ggr, ggg sind die 7 Variationen der Länge n=3 mit r=2 und g=3, wie Duedi es dir vorgetragen hat und die du implizite quittiert hast.

Das Zählverfahren geht so:
Es sind mit i=0 roten nämlich (n über i) = (3 über 0) = 1 Variation,
und mit i=1 roten nämlich (n über i) = (3 über 1)= 3 Variationen,
und mit i=2 roten sind es (n über i) = (3 über 2)= 3 Variationen,
total 1+3+3 = 7.
Aladin Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich glaube, jetzt habe ich es verstanden.
Ich berechne die Summe von allen (n über i) mit der unteren Grenze i=0 und der oberen Grenze r. (n gibt an, wie oft man zieht, und r ist die Anzahl der roten Kugeln)
Man nimmt dann immer die Farbe, von der weniger Kugeln da sind, oder? Ist das jetzt nur für zwei Farben oder ist es egal, wieviele verschiedene Farben es gibt?
Danke (und ich hoffe, ich habe es jetzt richtig verstanden).
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt so nur für zwei Farben. Die von dir genannten Grenzen stimmen nicht in jedem Fall:
Die untere Grenze ist das Maximum von 0 und (n-g), denn für i=0 müsste es genügend grüne Kugeln haben.
Die obere Grenze ist das Minimum von r und n.
Voraussetzung ist n <= r+g.

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