Integral mit partieller Integration berechnet

03.04.2010, 14:55

lilithilli1210

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Integral mit partieller Integration berechnet

Hi,

kann jmd bitte mal schnell über meine Lösung des Integrals drüberschaun??

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x^3 e^{x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left[x^3 \cdot 2x \cdot e^{x^2} - \int \! 3x^2 \cdot 2x e^{x^2} \, dx\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left[2x^4 \cdot e^{x^2} - \int \! 6x^3 e^{x^2} \, dx\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left[2x^4 \cdot e^{x^2} - 6 \int \! x^3 e^{x^2} \, dx\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x^3 e^{x^2} \, dx = \left[2x^4 \cdot e^{x^2} - 6 \int \! x^3 e^{x^2} \, dx\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7\int_0^1 \! x^3 e^{x^2} \, dx = \left[2x^4 \cdot e^{x^2} \right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7\int_0^1 \! x^3 e^{x^2} \, dx = 2e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{2e}{7} \end{eqnarray*}$

ist das richtig so, oder geht das noch irgendwie anders einfacher??

LG Lilithilli

03.04.2010, 15:03

DOZ ZOLE

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substituire $\begin{eqnarray*} t:=x^2 \end{eqnarray*}$ und mach dann die partielle integration. dann kommst du auch auf das richtige ergebnis.

03.04.2010, 15:09

lilithilli1210

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aber dann habe ich doch da stehn:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \sqrt{t^3} e^t \, dx \end{eqnarray*}$

macht das das ganze nich komplizierter?

weil die ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^3} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{t^3}}\cdot 3t^2 \end{eqnarray*}$

03.04.2010, 15:13

DOZ ZOLE

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nein erstmal suchste dir dein handwerkszeug für die substitution:

$\begin{eqnarray*} t=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2x} dt \end{eqnarray*}$

also bekommst du dann indem du $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ substituierst und dx ersetzt:

$\begin{eqnarray*} \int \! x^3e^{x^2} \, dx =\frac{1}{2}\int \! te^t \, dt \end{eqnarray*}$

und mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int \! te^t \, dt \end{eqnarray*}$ machst du jetzt partielle integration und nach der rücksubstitution bekommst du die gesuchte stammfunktion und kannst das bestimmte integral berechnen

03.04.2010, 15:25

lilithilli1210

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achso ok, ich dachte ich soll nur x² mit t substituieren.

ok dann also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \! te^t \, dt = te^t - \int \! e^t \, dt=e^t (t-1) \end{eqnarray*}$

soll ich da dann schon die Integrationsgrenzen einsetzen oder erst wenn es rücksubstituiert ist?

Rücksub: $\begin{eqnarray*} e^t(t-1)= e^{x^2}(x^2-1) \end{eqnarray*}$

03.04.2010, 15:27

DOZ ZOLE

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du hast das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ als konstanten faktor vergessen aber sonst ist das so richtig.
also:

$\begin{eqnarray*} \int \! x^3e^{x^2} \, dx =\frac{e^{x^2}}{2} (x^2-1) \end{eqnarray*}$

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03.04.2010, 15:31

saz

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Zitat:

Original von lilithilli1210
achso ok, ich dachte ich soll nur x² mit t substituieren.

Dir sollte doch klar sein, dass es vollkommen falsch ist, dieses Integral

$\begin{eqnarray*} \int f(t) \, dx \end{eqnarray*}$

zu schreiben, denn dann wäre f(t) bzgl. der Integration eine Konstante. Du musst bei jeder (!) Substitution die Substitutionsregel anwenden, die da gerade lautet:

$\begin{eqnarray*} \int f(\Phi(t)) \cdot \Phi'(t) \, dt = \int f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

also das "dx" in ein "dt" "umwandeln". (Mh, mein Prof würde mich wahrscheinlich niederschlagen ^^)

03.04.2010, 15:33

lilithilli1210

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ja hab ich eben beim einsetzten auch gemerkt, das mit 1/2.

einsetzten ergibt ja dann: $\begin{eqnarray*} \frac{e^1}{2}(1-1) - [\frac{e^0}{2}(0-1)] = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

warum hat das eigentlich mit partieller Integration nicht geklappt?
Hab ich nen Fehler eingebaut oder geht das einfach nich?

LG Lilithilli

03.04.2010, 15:36

lilithilli1210

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Zitat:

Original von saz

Zitat:

Original von lilithilli1210
achso ok, ich dachte ich soll nur x² mit t substituieren.

Dir sollte doch klar sein, dass es vollkommen falsch ist, dieses Integral

$\begin{eqnarray*} \int f(t) \, dx \end{eqnarray*}$

zu schreiben, denn dann wäre f(t) bzgl. der Integration eine Konstante. Du musst bei jeder (!) Substitution die Substitutionsregel anwenden, die da gerade lautet:

$\begin{eqnarray*} \int f(\Phi(t)) \cdot \Phi'(t) \, dt = \int f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

also das "dx" in ein "dt" "umwandeln". (Mh, mein Prof würde mich wahrscheinlich niederschlagen ^^)

doch die substituionsregeln sind mir klar, ich lerne schließlich seit 4 Wochen für Analysis^^

ich hab einfach nur das nich gesehn: $\begin{eqnarray*} \int f(\Phi(t)) \cdot \Phi'(t) \, dt \end{eqnarray*}$

da ja x³ nicht die ableitung von x² ist.

bin halt nicht draufgekommen, dass ich dann 1/2 rausziehe und so....

03.04.2010, 15:36

saz

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RE: Integral mit partieller Integration berechnet

Zitat:

Original von lilithilli1210
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x^3 e^{x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left[x^3 \cdot 2x \cdot e^{x^2} - \int \! 3x^2 \cdot 2x e^{x^2} \, dx\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

Du hast dich meiner Meinung nach bereits hier vertan, weil du die Formel zur partiellen Integration nicht richtig angewendet hast....weil unter dem Integral rechts die Ableitungen von beiden Funktionen stehen... dabei müsstest du ja eine der beiden integrieren.

Edit: Okay, wenn du es weißt, ist es ja gut. Vielen ist hier leider überhaupt nicht klar, was der Unterschied zwischen dx und dt ist.

03.04.2010, 15:37

Mulder

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Zitat:

Original von lilithilli1210
soll ich da dann schon die Integrationsgrenzen einsetzen oder erst wenn es rücksubstituiert ist?

Da scheint es noch Verständnisschwierigkeiten zu geben. Wenn du bei einem bestimmten Intrgral substiuierst, hast du zwei Möglichkeiten:

a) Du substituierst gleich zu Beginn die Grenzen mit und rechnest mit den neuen Grenzen zuende. Dann entfällt die Rücksubstitution. Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b} f(g(t)) \cdot g'(t)\,\mathrm{d}t = \int\limits_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

b) Du betrachtest zunächst das unbestimmte Integral (vernachlässigst also zunächst die Grenzen), bestimmst eine Stammfunktion, führst dann die Rücksubstitution durch und berechnest danach das bestimmte Integral mit den alten Grenzen, so wie sie waren.

Bei deiner partiellen Integration hast du die Regel einfach falsch verwendet. Ich weiß auch nicht, wie du darauf gekommen bist. Sie lautet (in Kurzschreibweise):

$\begin{eqnarray*} \int f\cdot g' = f\cdot g - \int f' \cdot g \end{eqnarray*}$

Du hast gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int f\cdot g = f\cdot g' - \int f' \cdot g' \end{eqnarray*}$

Totaler Quark irgendwie...

Edit: Entschuldigung, das hat sich jetzt mit einigen Beiträgen überschnitten. So langsam wird's unübersichtlich, ich ziehe mich zurück.

03.04.2010, 15:40

DOZ ZOLE

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im endeffekt geht hier partielle integration weil du nicht nur einfach nen integral der form $\begin{eqnarray*} \int \! f(x)\cdot g(x) \, dx \end{eqnarray*}$ sondern du hast dazu noch eine verkettung nähmlich $\begin{eqnarray*} \int \! f(x)\cdot g(h(x)) \, dx \end{eqnarray*}$ und so etwas schreit immer nach substitution Freude

Freude

03.04.2010, 15:40

lilithilli1210

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RE: Integral mit partieller Integration berechnet

Zitat:

Original von saz

Zitat:

Original von lilithilli1210
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! x^3 e^{x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left[x^3 \cdot 2x \cdot e^{x^2} - \int \! 3x^2 \cdot 2x e^{x^2} \, dx\right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

Du hast dich meiner Meinung nach bereits hier vertan, weil du die Formel zur partiellen Integration nicht richtig angewendet hast.

aber warum, ich habe als f(x)= x³ gewählt und f'(x)=3x² und als g'(x)= e^{x²} und g(x) = 2x e^{x²}

was habe ich denn genau da falsch gemacht. man nimmt doch:

$\begin{eqnarray*} \int \! f(x)g'(x) \, dx = f(x)\cdot g(x) - \int \! f'(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

03.04.2010, 15:43

lilithilli1210

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ok ich hab grad den fehler gesehn, hab die stammfkt von e^{x²} völlig in die falsch richtung gemacht, nicht ne stammfkt sondern ne ableitung Hammer

Hammer

danke an alle^^

03.04.2010, 15:44

saz

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RE: Integral mit partieller Integration berechnet

Zitat:

Original von lilithilli1210
als g'(x)= e^{x²} und g(x) = 2x e^{x²}

Das stimmt aber so nicht! Rechne mal

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} g(x) \end{eqnarray*}$

aus... dann merkst du dass, $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} g(x) \not= g'(x) \end{eqnarray*}$ (mit den oben von dir verwendeten Bezeichnungen).

03.04.2010, 15:44

lilithilli1210

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Zitat:

Original von Mulder

a) Du substituierst gleich zu Beginn die Grenzen mit und rechnest mit den neuen Grenzen zuende. Dann entfällt die Rücksubstitution. Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b} f(g(t)) \cdot g'(t)\,\mathrm{d}t = \int\limits_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

so ist mir das auch alles bekannt.

sehe ich das richtig, dass g(x) in meinem fall dann 2x ist?

03.04.2010, 15:45

saz

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Nein.... x² ... das hast du doch substitutiert...

03.04.2010, 15:48

lilithilli1210

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achso stimmt, 2x ist ja g'(x)

@saz : übrigens hab ich zwei beiträge vorher den fehler gefunden, auf den mich hingewiesen hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke

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