Summe aller ungeraden Zahlen

04.04.2010, 19:00

Matheschüler1991

Summe aller ungeraden Zahlen

Meine Frage:
Wie groß ist die Summe der ungeraden Zahlen von 7 bis 99?

Meine Ideen:
Ich würde die Aufgabe so lösen, indem ich alle ungeraden ZAhlen von 7 bis 99 aufschreibe und zusammen addiere.
Ich wollte wissen ob und wie man diese Aufgabe eleganter bzw effektiver lösen kann.

04.04.2010, 19:12

Calvin

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Klar gibt es da eine passende Formel. Aber ich finde es spannender, die Idee dahinter selbst auszuprobieren.

Schreibe die Zahlen 7, 9, 11, 13, .... 99 untereinander. In die zweite Zeile nochmal in umgekehrter Reihenfolge, also 99, 97, 95, 93,..... 9, 7. Bestimme jeweils die Summe zweier übereinanderstehender Zahlen. Fällt dir dann schon auf, wie du einfacher auf das Gesamtergebnis kommen kannst?

04.04.2010, 19:12

tigerbine

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RE: Summe aller ungeraden Zahlen
und, schon was ausgerechnet?

* Wie kann man ausdrücken, dass eine Zahl ungerade ist?

* Wie lautet eine Gaußsche Summenformel?

Damit könnte man sich was basteln.

04.04.2010, 19:28

Matheschüler1991

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist die gaußsche Summenformel, womit ich die Zahlen von 1 - n berechnen kann.

Theretisch könnte ich doch die Summe der ungeraden Zahlen von 1 - n errechnen, indem ich die Summenformel mit 2 dividiere. Sind meine Überlegungen soweit richtig?

04.04.2010, 19:31

Calvin

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Zitat:

Original von Matheschüler1991
Theretisch könnte ich doch die Summe der ungeraden Zahlen von 1 - n errechnen, indem ich die Summenformel mit 2 dividiere

Nein. Gegenbeispiel ist bereits n=3

$\begin{eqnarray*} 1+2+3 = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+3 = 4 \neq \frac{6}{2}=3 \end{eqnarray*}$

Kannst du dir mit meinem Ansatz vielleicht eine Formel zusammenbasteln?

04.04.2010, 19:50

Matheschüler1991

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Zitat:

Original von Calvin
Schreibe die Zahlen 7, 9, 11, 13, .... 99 untereinander. In die zweite Zeile nochmal in umgekehrter Reihenfolge, also 99, 97, 95, 93,..... 9, 7. Bestimme jeweils die Summe zweier übereinanderstehender Zahlen. Fällt dir dann schon auf, wie du einfacher auf das Gesamtergebnis kommen kannst?

Als Summe kommt immer 106 heraus. Es sind 46 Zeilen.
Also ist 46*106 die Summe beider Zeilen. Um jetz die Summe einer Zeile heraus zu bekommen muss man
$\begin{eqnarray*} \frac{46\cdot 106}{2} \end{eqnarray*}$
rechnen.
Seid ihr einverstanden?

04.04.2010, 20:12

Calvin

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Zitat:

Original von Matheschüler1991
Es sind 46 Zeilen

Nicht ganz. Probiere es mit einem kleinen Beispiel aus (z.B. die ungeraden Zahlen von 7 bis 13).

Ansonsten passt es aber Freude

22.02.2011, 22:14

KuJo

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Summenformeln ...
Summenformeln:

alle Zahlen 1-n:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = n(n+1)/2 \end{eqnarray*}$

alle geraden Zahlen 1-n:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = n(n+2)/4 \end{eqnarray*}$

alle ungeraden Zahlen 1-n:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = (n^2)/4 \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 22:20

KuJo

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Summenformeln ...
... Nachtrag:

Um die Summe der ungeraden Zahlen 7 bis 99 zu rechnen, gehst du jetzt erst mal davon aus, dass du alle ungeraden Zahlen bis 100 addieren möchtest (das sind dann die ungeraden Zahlen 1 bis 99):

alle geraden Zahlen 1-n:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = n(n+2)/4 \end{eqnarray*}$

also bei 100

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = (100^2)/4 \end{eqnarray*}$

Und davon ziehst du dann alle ungeraden Zahlen von 1 bis <7 ab, also alle ungeraden Zahlen zwischen 1 und 6 (was dann die ungeraden Zahlen 1-5 sind, also 1,3,5):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = (100^2)/4 \end{eqnarray*}$ minus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = (6^2)/4 \end{eqnarray*}$

Dann hast du dein Ergebnis.

22.02.2011, 22:22

Iorek

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@KuJo,

1. Dein Beitrag verstößt gegen unser Boardprinzip, Komplettlösungen seitens eines Helfers sind unerwünscht, deine Ausführungen kommen schon sehr nahe an eine Komplettlösung ran.
2. Die Frage des Threaderstellers war größtenteils bereits gelöst, deine Summenformeln waren also nicht unbedingt notwendig.
3. Dieser Thread ist beinahe 1 Jahr alt.

22.02.2011, 22:22

KuJo

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... weil ich mich nicht registriert habe, kann ich meinen voran gegangenen Post nicht editieren ...

Das ist natürlich falsch, dass ich die Summenformel für gerade Zahlen vorher angebe, weil wir ja letztlich mit den ungeraden Zahlen rechnen. Muss also richtig heißen ...

alle ungeraden Zahlen 1-n
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = (n^2)/4 \end{eqnarray*}$

22.02.2011, 22:25

KuJo

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Hallo!

Zitat:

Original von Iorek
@KuJo,

1. Dein Beitrag verstößt gegen unser Boardprinzip, Komplettlösungen seitens eines Helfers sind unerwünscht, deine Ausführungen kommen schon sehr nahe an eine Komplettlösung ran.
2. Die Frage des Threaderstellers war größtenteils bereits gelöst, deine Summenformeln waren also nicht unbedingt notwendig.
3. Dieser Thread ist beinahe 1 Jahr alt.

Sorry. Das wußte ich nicht. Habe die Regeln zugegebenerweise nicht gelesen. Dann bitte ggf. entsprechend löschen.

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