Anfangswertproblem lösen

04.04.2010, 19:55

DOZ ZOLE

Anfangswertproblem lösen

Hallo,
ich sitze gerade an folgender Aufgabe und finde meinen Fehler nicht.

Zitat:

Lösen Sie das AWP $\begin{eqnarray*} \frac{d\vec{y}(t) }{dt}=M\vec{y}(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{y}(0)=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} M\in \mathbb R^{3,3} \end{eqnarray*}$ die Eigenwert 0,2 und 5 hat. Die zugehörigen Eigenräume lauten:

$\begin{eqnarray*} V_{\lambda=0} =span\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{\lambda=2} =span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{\lambda=5} =span\left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Idee war nun die Diagonalisierung von M anzugeben und dann die Exponentialmethode benutzen.Also $\begin{eqnarray*} M=SDS^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun habe ich $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ berechnet mit dem Gauss-Jorden-Algorhitmus:

$\begin{eqnarray*} S^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun Exponentialmethode: $\begin{eqnarray*} \vec{y}(t)=Se^{(t-t_0)D}S^{-1}\vec{y_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{y}(t)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{2t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{5t} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{y}(t)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{2t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{5t} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{y}(t)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ e^{2t} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{y}(t)=\begin{pmatrix} 2 \\ e^{2t} \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In der Musterlösung zu der Aufgabe steht nun aber $\begin{eqnarray*} \vec{y}(t)=\begin{pmatrix} 2 \\ 3e^{2t} \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aber ich weiß nicht wo ich mich vertan habe. Vllt kann mir ja hier jmd meinen Fehler zeigen.

MfG
DOZ ZOLE

05.04.2010, 00:20

mYthos

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RE: Anfangswertproblem lösen
Meist scheitert es bei den einfachen Dingen ... Big Laugh

4 + 3 - 4 = 3

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mY+

05.04.2010, 13:40

DOZ ZOLE

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war ja klar das ich mich wieder bei sowas vertue-.- aber danke jetzt kenn ich meinen fehler

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