Stetigkeit von x^2 beweisen

05.04.2010, 13:47

Paul1

Stetigkeit von x^2 beweisen

Hallo, ich soll zeigen, dass die Normalparabel im Intervall (-7,5) stetig ist.
Kann man das so machen?:

$\begin{eqnarray*} |x-y|<\alpha \Rightarrow |x^2-y^2|<\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x-y||x+y|<\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha <\frac{\beta }{|x+y|} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kommt die Stelle bei der ich mir unsicher bin: darf ich nun einfach |x+y| mit 14 abschätzen, weil das der im zu untersuchenden Intervall größte Wert ist?

$\begin{eqnarray*} \alpha <\frac{\beta }{14} \end{eqnarray*}$

Und noch eine allgemeine Frage: darf mein alpha von x abhängen?

Grüße,
Paul

05.04.2010, 14:01

daiblow

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RE: Stetigkeit von x^2 beweisen

Zitat:

Original von Paul1
Hallo, ich soll zeigen, dass die Normalparabel im Intervall (-7,5) stetig ist.
Kann man das so machen?:

$\begin{eqnarray*} |x-y|<\alpha \Rightarrow |x^2-y^2|<\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x-y||x+y|<\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha <\frac{\beta }{|x+y|} \end{eqnarray*}$

müsste es nicht, wenn überhaupt, $\begin{eqnarray*} \alpha \leq \frac{\beta }{|x+y|} \end{eqnarray*}$ heißen? ich sehe nicht, wo du her hast, dass alpha kleiner als beta ist. jeder wert von alpha kann kleiner, gleich oder sogar größer als beta sein. du hast dort nur gesagt, dass |x-y| < alpha und |x²-y²| < beta.
nun kann aber |x-y|<beta<alpha, gelten..beinhaltet ja nach wie vor |x-y|<alpha.

ich hoffe, es ist klar geworden, was ich meine.. vlt hast du in deiner aufgabe noch ein verhältnis von alpha und beta zueinander stehen. nur so kannst du egtl. keine relation herleiten.

lg smile

05.04.2010, 14:23

Paul1

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also es geht mir darum für ein festes beta ein alpha zu suchen, so dass aus x-y < alpha folgt x^2-y^2< beta. und natürlich kann es sein, dass es solche alphas dann größer beta gibt. aber um die existenz eines solchen alphas zu zeigen genügt es ja eines zu finden, das viel kleiner ist als das größtmögliche. also denke ich habe ich durch die einschränkung alpha kleiner beta keinen fehler gemacht.

05.04.2010, 16:53

unregistered

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mit epsilon delta ist es einfach:

|x²-y²|=| (x-y)*(x+y)|= |x-y|*|x+y| < delta * (|x|+|y|) < delta *( 5+|y|)

wähle epsilon=1/(5+|y|) mit |x-y|<delta

05.04.2010, 17:02

unregistered

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also epsilon hängt bei gleichmäßiger stetigkeit von y ab.

05.04.2010, 17:27

giles

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Zitat:

Original von unregistered
also epsilon hängt bei gleichmäßiger stetigkeit von y ab.

Eben nicht.

Deine Abschätzung ist für das Intervall ganz ok. Es fehlt jetzt halt noch einfach etwas logische Basics, was du jetzt überhaupt zeigen willst.
Bei Stetigkeit in y suchst du jetzt ein $\begin{eqnarray*} \alpha (\beta ,y) \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} |x^2-y^2|<\beta \end{eqnarray*}$
Da du ein Intervall vorgegeben hast konntest du es sogar unabhängig von y zeigen, d.h. es ist gleichmäßig stetig. Für allgemeine Intervalle gehts bei der Funktion natürlich nur in Abhängigkeit von y, aber das ist für das Intervall so auch i.O. um den allgemeinen Fall kannst du dir bei Interesse später Gedanken machen, dazu brauchst du dann $\begin{eqnarray*} |x+y|\leq |x-y|+|2y| \end{eqnarray*}$

Jetzt wo du alles so in etwa erklärt bekommen hast, schreib doch nochmal den Beweis auf wie er jetzt vollständig lautet.

05.04.2010, 18:42

Paul1

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Also erstmal danke für eure Antworten! Bin aber von ein paar Aussagen auch etwas verwirrt :-)

zunächst die punktweise Stetigkeit:

Ist die Funktion im Punkt y stetig?

Zu zeigen ist, dass für alle beta>0 ein alpha >0 existiert derart, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} |x-y|<\alpha \Rightarrow |x^2-y^2|<\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x^2-y^2| = |x-y||x+y| <\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha |x+y| <\beta \end{eqnarray*}$

Mit
$\begin{eqnarray*} |x+y| \leq |x|+|y| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x| < |y|+\alpha \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} \alpha (|y|+\alpha +|y|) <\beta \end{eqnarray*}$

Mit folgender Abschätzung bin ich dann für alpha auf der sicheren Seite:

$\begin{eqnarray*} \alpha (2|y|\alpha +\alpha) <\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha <\sqrt{\frac{\beta }{2|y|+1} } \end{eqnarray*}$

Auf diese Weise erhalte ich alpha für jedes beta und für jedes y, d.h. die Funktion ist auf ganz R stetig.

Um zu zeigen, dass die Funktion gleichmäßig stetig ist, müsste ich alpha anschließend noch unabhängig von y machen, richtig?

MfG
Paul

07.04.2010, 13:38

Paul1

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was sagt ihr dazu? :-)

07.04.2010, 14:18

giles

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Zitat:

Original von Paul1
$\begin{eqnarray*} |x| < |y|+\alpha \end{eqnarray*}$

[...]

$\begin{eqnarray*} \alpha (|y|+\alpha +|y|) <\beta \end{eqnarray*}$

Mit folgender Abschätzung bin ich dann für alpha auf der sicheren Seite:

$\begin{eqnarray*} \alpha (2|y|\alpha +\alpha) <\beta \end{eqnarray*}$

Das ist so nicht ok. Die oberste Abschätzung wirst du erläutern müssen, weil das nicht gut aussieht. Ich hab das Gefühl da hast du was falsch verstanden. Warum hast du nicht die von mir vorgeschlagene Abschätzung gezeigt und verwendet?

Dann bei dem anderen Schritt hast du $\begin{eqnarray*} \alpha (2|y|+\alpha ) < \beta \end{eqnarray*}$ gegeben und schummelst beim nächsten Schritt einfach ein weiteres alpha da rein. Wie kommst du dazu?

Zitat:

Um zu zeigen, dass die Funktion gleichmäßig stetig ist, müsste ich alpha anschließend noch unabhängig von y machen, richtig?

Müsstest du, aber die Funktion ist nicht auf jedem Intervall gleichmäßig stetig. Nur auf beschränkten.

07.04.2010, 16:51

Paul 1

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also erstmal hierzu:

$\begin{eqnarray*} |x| < |y|+\alpha \end{eqnarray*}$

Das ist doch eine direkte Folge aus der Voraussetzung "für alle x mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\alpha \end{eqnarray*}$ ".

Und warum ich da das alpha ergänzt habe: es gilt ja das |x-y| nach oben abzuschätzen, d.h. eine obere Schranke (eben alpha) für |x-y| zu finden, so dass für alle x mit |x-y| die kleiner sind als diese obere Schranke die Behauptung erfüllt ist.

Beta ist in der betrachteten Ungleichung fest. Indem ich das alpha in meiner Gleichung einfach hinzufüge wird die linke seite "größer". Ich suche aber alpha für ein festes beta, also wird alpha kleiner wenn die Ungleichung weiter erfüllt sein soll. Und wenn alpha kleiner wird als es sein muss habe ich ja aus oben genannten Gründen kein Problem.

07.04.2010, 18:53

giles

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Zitat:

Original von Paul 1
Das ist doch eine direkte Folge aus der Voraussetzung "für alle x mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\alpha \end{eqnarray*}$ ".

Das wäre eine direkte Folge aus " $\begin{eqnarray*} |x|-|y|<\alpha \end{eqnarray*}$ " , aber das liegt wohl auch im Auge des Betrachters. Wenn du das vorher auch immer so gemacht hast wirds wohl ok sein.

Zitat:

Und warum ich da das alpha ergänzt habe: es gilt ja das |x-y| nach oben abzuschätzen, d.h. eine obere Schranke (eben alpha) für |x-y| zu finden, so dass für alle x mit |x-y| die kleiner sind als diese obere Schranke die Behauptung erfüllt ist.

Beta ist in der betrachteten Ungleichung fest. Indem ich das alpha in meiner Gleichung einfach hinzufüge wird die linke seite "größer".

Du meinst

$\begin{eqnarray*} \alpha (|y|+\alpha +|y|) \leq \alpha (2|y|\alpha +\alpha) \overset{!}{<}\beta \end{eqnarray*}$ ?

Das gilt sicherlich nur für $\begin{eqnarray*} \alpha \geq 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich suche aber alpha für ein festes beta, also wird alpha kleiner wenn die Ungleichung weiter erfüllt sein soll. Und wenn alpha kleiner wird als es sein muss habe ich ja aus oben genannten Gründen kein Problem.

Das ergibt auch nach mehrmaligem durchlesen nicht wirklich Sinn... du nennst garkeine Gründe, warum es für kleine alpha "kein Problem" ist.
Du darfst $\begin{eqnarray*} \alpha (2|y|+\alpha ) \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen und dann zeigen dass die Abschätzung kleiner als beta wird, aber sonst nicht. Eigentlich ist aber diese Gleichung auch völlig ok um damit zu arbeiten.

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