Beweis (viel kleiner als (<<))

24.10.2006, 20:05

Evok

Beweis (viel kleiner als (<<))

hi

also ich soll folgendes beweisen:
$\begin{eqnarray*} c^n << n! \end{eqnarray*}$
ich hab mittlerweile rausgefunden dass dies dann der fall ist wenn gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{c^n}{n!} =0 \end{eqnarray*}$

nur stellt sich die frage wie ich an das thema rangeh, bin ziemlich ungeübt in solchen beweisen und irgendwie denk ich mir dassma da ein bisschen ein Auge dafür braucht
Kennt irgendjemand tolle seiten wo beweismethoden aufgführt sind?
danke für alles
lg
harry

24.10.2006, 20:15

Abakus

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))
Was passiert, wenn du die einzelnen Folgenglieder betrachtest und n > c ist ?

Daraus kannst du eine Abschätzung konstruieren.

Grüße Abakus smile

24.10.2006, 20:22

Evok

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))
Wie meinst das mit den einzelnen Folgengliedern?

Ich mein es ist mir wohl bewusst dass der Zähler weniger schnell ansteigt als der Nenner und somit der bruch irgendwann gegen 0 gehen muss aber wie bringt man das in mathematische formen verwirrt

24.10.2006, 20:30

Abakus

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))
Du betrachtest die folgende Folge:

$\begin{eqnarray*} (\frac{c^n}{n!})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

Die einzelnen Folgenglieder kannst du nun betrachten. Werden die mit steigendem n größer oder kleiner bzw. wovon hängt das ab ?

Grüße Abakus smile

24.10.2006, 20:39

Evok

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))
ja ok
also solange c>=n werden die werte immer größer
jedoch irgendwann muss doch c<n werden und dann fangen die werte zu sinken an und gehen irgendwann gegen 0 (oder? *g*)
ab hier steigt ja die fakultät stärker als die eine konstante potenziert
verwirrt

wie bau ich mir aus diesen erkenntnissen jetz eine abschätzung?

24.10.2006, 20:57

Abakus

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))

Zitat:

Original von Evok
wie bau ich mir aus diesen erkenntnissen jetz eine abschätzung?

Du nutzt genau dieses Faktum aus. Wähle ein N so, dass es zB doppelt so groß wie c ist: $\begin{eqnarray*} N := 2 \cdot \lceil c \rceil \end{eqnarray*}$ . Dann gilt sicher: $\begin{eqnarray*} \frac{c}{n} \le \frac{c}{N} \le \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachtest du 2 Teile des Produktes, einmal die ersten N Faktoren, und dann die restlichen Faktoren. Der erste Teil des Produktes ist eine Konstante, kannst du den restlichen Teil abschätzen ?

Grüße Abakus smile

EDIT: Latex

24.10.2006, 21:19

Evok

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))

Zitat:

Original von Abakus

Du nutzt genau dieses Faktum aus. Wähle ein N so, dass es zB doppelt so groß wie c ist: $\begin{eqnarray*} N := 2 \cdot \lceil c \rceil \end{eqnarray*}$ . Dann gilt sicher: $\begin{eqnarray*} \frac{c}{n} \le \frac{c}{N} \le \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$

Ja also das is mir ja noch ziemlich klar
aber was meinst jetz genau mit Produkt?
sollte das so irgendwie sein
$\begin{eqnarray*} c^N*c^{n-N} \end{eqnarray*}$
wobei das $\begin{eqnarray*} c^N \end{eqnarray*}$ der erste Teil is und das $\begin{eqnarray*} c^{n-N} \end{eqnarray*}$ der zweite teil?
steh irgendwie a bissl auf der leitung

24.10.2006, 21:26

Abakus

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))

Zitat:

Original von Evok
aber was meinst jetz genau mit Produkt?
sollte das so irgendwie sein
$\begin{eqnarray*} c^N*c^{n-N} \end{eqnarray*}$
wobei das $\begin{eqnarray*} c^N \end{eqnarray*}$ der erste Teil is und das $\begin{eqnarray*} c^{n-N} \end{eqnarray*}$ der zweite teil?

Ja, genau. Kannst du den gesamten Folgen-Term so aufteilen und das hinschreiben ?

Grüße Abakus smile

24.10.2006, 21:33

Evok

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))
hmm, ja ich stell mir das mal so vor

$\begin{eqnarray*} \frac{c^N}{N!} * \frac{c^{n-N}}{\frac{n!}{N!}} \end{eqnarray*}$

aber was mach ich nun mit dem dingsda? *g*

24.10.2006, 21:38

Abakus

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))
Jetzt geht es mit der Abschätzung weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{c^N}{N!} \cdot \frac{c^{n-N}}{\frac{n!}{N!}} \le \frac{c^N}{N!} \cdot \frac{1}{2^{n-N}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du n gegen Unendlich laufen lassen. Was passiert ?

Grüße Abakus smile

24.10.2006, 21:49

Evok

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))

Zitat:

Original von Abakus
$\begin{eqnarray*} \frac{c^N}{N!} \cdot \frac{c^{n-N}}{\frac{n!}{N!}} \le \frac{c^N}{N!} \cdot \frac{1}{2^{n-N}} \end{eqnarray*}$

Ich versteh zwar nicht ganz wie du auf die abschätzung kommst, aber auf jeden fall wird der nenner des rechten ausdruckes irgendwann einmal ziemlich groß und somit der ganze rechte ausdruck null und nachdem der linke ausdruck ja kleiner oder gleich null ist geht alles zammen gegen null, hab ich jetz richtig kombiniert?

die frage ist nur wie du von $\begin{eqnarray*} \frac{c^{n-N}}{\frac{n!}{N!}} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n-N}} \end{eqnarray*}$ kommst

24.10.2006, 21:53

Abakus

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))

Zitat:

Original von Evok
die frage ist nur wie du von $\begin{eqnarray*} \frac{c^{n-N}}{\frac{n!}{N!}} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n-N}} \end{eqnarray*}$ kommst

Da stehen ja (n-N)-viele Faktoren. Und N hatten wir so gewählt, dass für n > N bestimmte Dinge gelten:

Zitat:

Original von Abakus
Wähle ein N so, dass es zB doppelt so groß wie c ist: $\begin{eqnarray*} N := 2 \cdot \lceil c \rceil \end{eqnarray*}$ . Dann gilt sicher: $\begin{eqnarray*} \frac{c}{n} \le \frac{c}{N} \le \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$

Diese Vorbereitung wurde nun ausgenutzt.

Grüße Abakus smile

24.10.2006, 22:04

Evok

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))
aaah jetz hab ichs glaubich gecheckt...
die $\begin{eqnarray*} \frac {n!}{N!} \end{eqnarray*}$ besteht ja auch aus n-N faktoren, somit kannman für den ganzen bruch 1/2 nehmen und halt potenzieren,
yeah
also wenn ich das jetz richtig verstanden habe sind wir fertig oda?
herzlichen dank für alles
lg
harry

24.10.2006, 22:12

Abakus

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RE: Beweis (viel kleiner als (<<))
Freude

, ja, klasse, fertig soweit.

Grüße Abakus smile

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Beweis (viel kleiner als (<<))

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