Wurzel-n-Gesetz

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Sophie Engel Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel-n-Gesetz
Meine Frage:
Wieso teilt man bei Konfidenzintervallen bei Normalverteilungen die Standardabweichung der Stichprobe (Standardfehler) durch die Wurzel aus n?

Meine Ideen:
Bei Konfidenzintervallen für Normalverteilungen sucht man ja den Erwartungswert der Grundgesamtheit, während man eine Stichprobe und dessen arithmetisches Mittel, x*quer* gegeben hat. Dabei ist logischerweise (nach dem Zentralen Grenzwertsatz) die Abweichung von x*quer* von E(X) kleiner als die Abweichung jeder einzelnen Zufallsgröße. Dies verhält sich: Sigma (X) : Sigma / Wurzel(n) (x*quer*).

Hab ich es soweit richtig verstanden??

Ich verstehe einfach nicht, wieso man durch die Wurzel von n teilt-- ich würde gerne die Herleitung oder was immer verstehen, um mit der Formel besser arbeiten zu können, denn momentan nehme ich das einfach so an und niemand kann mir so richtig erklären, wieso man an der Stelle durch Wurzel n teilt.
Sophie Engel Auf diesen Beitrag antworten »

Also es ist so:

Die Varianz berechnet sich in diesem Fall wie folgt:

V ( 1/n (X1 + X2 + ... + Xn) )

1/n deshalb, weil man die Varianzen durch die Anzahl der Stichprobe teilt, um den Mittelwert zu bekommen. Zieht man 1/n nun heraus, ergibt sich:

1/(n^2) V (X1 + X2 + ... + Xn)

weil in der Varianz quadriert wird und daher auch der herausgezogene Fakor quadriert werden sollte. Nun kann man das Zeug in Klammern (also die Varianz) so verkürzen:

V (X1 + X2 + ... + Xn) = n V(X)

Zusammen ergibt das:

1/(n^2) n V(X)

Mit ein bisschen kürzen erhält man:

1/n * V(X)

Das ist nun die Varianz, und die Standardabweichung Sigma ist die Wurzel aus der Varianz. Es gilt entsprechend:

1/WURZEL(n) * Sigma
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sophie,

hast du schon bei Wiki die Herleitung angeschaut?

Hier

Hoffe das hilft Dir etwas weiter.

Die Wurzel n rührt vom Standardisieren der Zufallsvariablen X*quer* her.

Grüße
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