Numerische Analysis I - Aufgabe

24.10.2006, 20:23	Seb17	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerische Analysis I - Aufgabe Guten Abend Ich und einige andere habe in NumA I eine Aufgabe bekommen, mit der wir ehrlich gesagt nicht so viel anzufangen wissen ... Wäre schön, wenn wer, der sich auskennt, helfen könnte. Danke im Voraus. Hier die Aufgabe: Zu einer Fkt. $\begin{eqnarray} f\in\mathcal{C}^{3}[a, b] \end{eqnarray}$ haben wir nur eine Programmroutine, die uns f bis auf einen relativen Fehler $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ liefert. Statt $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ liefert die Programmroutine also $\begin{eqnarray} f^{}(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{\left\| f(x)-f^{}(x)\right \|}{\left \| f(x)\right \|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \le \epsilon \end{eqnarray}$ . Der Wert $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ soll numerisch approximiert werden. Dazu sind $\begin{eqnarray} D_1(f)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D_2(f)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \end{eqnarray}$ zwei mögliche Ansätze, wobei $\begin{eqnarray} h>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x-h,x,x+h\in [a,b] \end{eqnarray}$ . Bei Verwendung der Programmroutine erhält man also $\begin{eqnarray} D_1(f^{}) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} D_2(f^{}) \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} \\|f\\|_{\infty}\equiv max_{x\in [a,b]}\left\|f(x)\right\|. \end{eqnarray}$ War 'ne ganze Menge an Vorbedingungen Danke fürs Durchhalten! Jetzt zur Aufgabenstellung a) Zeigen Sie, zunächst für den Fall exakter Auswertung von f, dass $\begin{eqnarray} \left\| D_1(f)-f'(x)\right\|\le \frac{h}{2}\\|f''\\|_{\infty} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left\| D_2(f)-f'(x)\right\| \le \frac{h^2}{6}\\|f'''\\|_{\infty} \end{eqnarray}$ . Kann es sein, dass man das hier über eine Taylorreihe lösen kann. Die Koeffizienten, also $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ erinnern mich nämlich an letztere . Wenn ja, würde ich als Enwtwicklungspunkt x wählen?
24.10.2006, 20:36	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerische Analysis I - Aufgabe Ja, kann sein, am Besten probierst du es mal aus, ob das hinkommt. Du hast hier allerdings nur ein Taylorpolynom und nicht die -reihe. Grüße Abakus ** verschoben nach Numerik **

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